高校数学です。 過去問にあった問題なのですが 解答もなく解説もないのでよくわかりません…。 私の答え

高校数学です。
過去問にあった問題なのですが
解答もなく解説もないのでよくわかりません…。

私の答えは　1/24(x⁴-1/x⁴)でした。
正直難しくて全然わからなかったので
わかる方、答えと解き方教えてください！

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/29 21:33

x² + 1/x² = 6, 0 < x < 1.

x² = t と置くと、 t + 1/t = 6, 0 < t < 1.
方程式は t² - 6t + 1 = 0 と書き換えられるから、　　　←[1]
解の公式より t = 3±√8.　0 < t < 1 より t = 3-√8.　←[2]

t + 1/t = 6 を両辺 2乗して、 t² + 2 + 1/t² = 36.　　　←[3]
これらを使って、 (1/24)(x⁴ - 1/x⁴)
= (1/24)(t² - 1/t²) = (1/24)(t² - (34 - t²))　　←[3]を使った
= (1/12)(t² - 17) = (1/12)((6t - 1) - 17)　　 ←[1]を使った
= (1/2)(t - 3) = (1/2)((3-√8) - 3)　　　　　 ←[2]を使った
= (1/2)(-√8) = -√2．

この回答へのお礼

方程式　t²-6t+1=0ってどうやってなるのですか？

お礼日時：2021/09/30 19:41

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/30 20:12

＞ 方程式 t²-6t+1=0 ってどうやってなるのですか？

t + 1/t = 6 の解は t = 0 ではないから、
両辺を t 倍しても方程式は変わらない。 t² + 1 = 6t.
移項すると、 t² - 6t + 1 = 0.

解くのは、解の公式でいい。
t = { 6 ± √(6² - 4・1・1) }/2
　= { 6 ± √32 }/2
　= 3 ± √8.

No.3 回答者： akari31 回答日時： 2021/09/29 08:35

(x^2)+(1/x^2)=6より、

{(x^2)-(1/x^2)}^2=[{(x^2)+(1/x^2)}^2]-4＝36-4=32
ここで、0<x<1より、0<x^2<1<1/x^2
よって、(x^2)-(1/x^2)＝-4√2
(x^4)-(1/x^4)={(x^2)+(1/x^2)}{(x^2)-(1/x^2)}=-24√2

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/09/28 23:55

なんでxを残す？

x²=uとして u²-6u+1=0 →u=(6±√(36-4)/2=3±2√(2)

条件にあうuを選んで、後は計算するだけ。

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2021/09/28 23:44

x^2＝tとおく。

0＜x＜1 なので、0＜t＜1の条件が付く。
さて、
x^2＋1/x^2＝6
t＋1/t＝6
t^2＋1＝6t
t^2－6t＋1＝0
t＝3±2√2
先に確認したように、0＜t＜1 なので、t＝3－2√2のみが適格。
ところで、t^2－6t＋1＝0よりt^2＝6t－1なので
t^2＝17－12√2
1/t^2＝1／(17－12√2)＝(17＋12√2)／{(17－12√2)・(17＋12√2)}
＝(17＋12√2)／(289－288)
＝(17＋12√2)

故に
(1/24)・(x^4－1／x^4)
＝(1/24)・(t^2－1／t^2)
＝(1/24)・{(17－12√2)－(17＋12√2)}
＝(1/24)・(17－12√2－17－12√2)
＝(1/24)・(－24√2)
＝－√2