この問題の解法を教えてください

nは2以上の整数とする。1,2,…,6nの番号が書かれたカードが1枚ずつ計6n枚箱に入っている。この箱から無作為に3枚のカードを取り出す時、その3枚のカードが書かれた番号の和が6n以下となる確率を求めよ。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/14 15:45

この確率は、「3枚のカードの選び方の場合の数=(6n)C3」で「条件を満たす選び方の場合の数」を割り算すれば出せるでしょ。

だから、「条件を満たすカードを選ぶ選び方の場合の数」を知りたい。

3枚のカードに書かれた番号を順にX,Y,Zとすれば、
「3つの自然数(0を除く)を選んで組(X,Y,Z) とする。X+Y+Z ≦ 6nで、かつX,Y,Zが全部異なるものはいくつあるか」を解いて、これを3! (= 3枚の並べ替えの場合の数)で割る。

　X+Y+Z ≦ 6n となる組(X,Y,Z)の個数をFとし、そのF個の中でX,Y,Zのうちに同じ番号がある組の個数をDとすると、答は
　　(F - D)/3!
ということ。そして、えーと、
　　F = 2n(18n^2 - 9n + 1)
かな。この内でX=Yであるもの、すなわち2X+Z≦6nとなる組(X,X,Z)の個数Gは
　　G = 3n(3n - 1)
で、X=Zである組の個数もG、Y=Zである組の個数もG。
　また、X=Y=Zである組、すなわち3X≦6nとなる組(X,X,X)の数Hは
　　H = 2n
だから
　　D = 3G - 2H
というわけで、あー、いや例によって計算間違いしてるかも。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/14 05:11

６ｎ という式にあまり意味がないかなあ。

1,2,…,m の番号が書かれたカードが1枚ずつ計 m 枚箱に入っている。
この箱から無作為に 3 枚のカードを取り出す時
その3枚のカードが書かれた番号の和が m 以下となる確率を p(m) として、
m に関する漸化式を立てればいいんじゃない？
最後に m = 6n を代入する。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/11/14 00:49

復元抽出? 非復元抽出?

いずれにせよ素直に数えるだけだとは思うが.