f(x)=√(ax^2+bx+c)-√ax(a>0)はxがどのような範囲で逆関数を持ちますか？

f(x)=√(ax^2+bx+c)-√ax(a>0)はxがどのような範囲で逆関数を持ちますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/18 19:52

f(x)=√(ax^2+bx+c)-(√a)x(a>0)

y=b/(2√a)
に対して
y=f(x)となるxがあるとすると

b/(2√a)=√(ax^2+bx+c)-(√a)x
↓両辺に(√a)xを加えると
b/(2√a)+(√a)x=√(ax^2+bx+c)
↓両辺に(2√a)をかけると
b+2ax=2√(a^2x^2+abx+ac)
↓両辺を2乗すると
b^2+4abx+4a^2x^2=4a^2x^2+4abx+4ac
↓両辺に-4a^2x^2-4abxを加えると

b^2=4ac

f(x)
=√(ax^2+bx+c)-(√a)x
=√[a{x+b/(2a)}^2+(4ac-b^2)/(4a)]-(√a)x
=(√a)|x+b/(2a)|-(√a)x

x≧-b/(2a)の時
f(x)=b/(2√a)
x<-b/(2a)の時
f(x)
=(√a){-x-b/(2a)}-(√a)x
=-(2√a)x-b/(2√a)
>b/(2√a)
∴
f(x)≧b/(2√a)

y<b/(2√a)
に対して
y=f(x)となるxは存在しないから
逆関数は存在しない

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/11/18 19:54