Rを一意分解環とする。a,b∈R。a,bは素元。aとbが同伴でないならばaとbは互いに素ですか？

Rを一意分解環とする。a,b∈R。a,bは素元。aとbが同伴でないならばaとbは互いに素ですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/08 15:58

Rを一意分解環とする

a,b∈R
a,bは素元
aとbが同伴でない
aとbは互いに素でないと仮定すると

aとbの非単元公約元dが存在するから
a=xd
b=yd…(1)
となるx,yがある

一意分解環は整域だから
整域において,すべての素元は既約元であるから
aは既約元で
a=xd
だから
x,dのどちらか一方が単元で他方が非単元
dは非単元だから
xは単元だから
x^(-1)a=d
↓これを(1)に代入すると
b=yx^(-1)a…(2)

bは既約元で
b=yd
だから
y,dのどちらか一方が単元で他方が非単元
dは非単元だから
yは単元だから
yx^(-1)は単元だから
↓(2)から
aとbは同伴となりaとbが同伴でない事に矛盾するから
∴
aとbは互いに素