一意分解環について

整域 Aの任意の元a(≠0)について、p1, p2, … ,pm, q1, q2, … ,qnをAの素元としてa=p1p2…pm=q1q2…qnならば, m=nであり, 置換σに対して各piとqσ(i)は同伴になる。(i=1,…,n)
を証明したいのですが参考書に証明方法載っておらず、ご教授頂きたく質問させて頂きました。
何卒よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• すみません、Aは一意分解環(元a∈Aは有限個の素元の積で表される)としています。

    補足日時：2022/04/30 05:29

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/30 22:02

任意の整域で一意分解できるとはいっていません

整域Aの零元でも単元でもない元aがいずれも
Aの素元の積の形に書けるならば
整域Aは一意分解環となる
事を証明するのです

整域Aの元pは0でも単元でもなく
Aのある元aとbに対して
pがabを割り切るときにはいつでも
pがaを割り切るか
pがbを割り切る
時
pをAの素元いう

a=p1p2…pn

整域 Aの任意の元a(≠0)について、
p1, p2, … ,pm, q1, q2, … ,qnをAの素元として
m≦n
a=p1p2…pm=q1q2…qnならば,

p1は素元だから
q1, q2, … ,qnのどれかがp1で割り切れる
p1で割り切れるものをqσ(1)とすると
qσ(1)=sp1
となるsがある
qσ(1)は素元だから
s,p1のどちらかがqσ(1)で割り切れる
sがqσ(1)で割り切れると仮定すると
s={qσ(1)}t
となるtがある
qσ(1)={qσ(1)}tp1
qσ(1)(1-tp1)=0
qσ(1)≠0だから
1-tp1=0
1=tp1
となってp1が単元となりp1が素元である事に矛盾するから
sがqσ(1)で割り切れないから
p1がqσ(1)で割り切れるから
p1=tqσ(1)
となるtがある
qσ(1)=stqσ(1)
(1-st)qσ(1)=0
qσ(1)≠0だから
1-st=0
1=st
だからs,tは単元であるから
p1とqσ(1)は同伴になる
以下同様に
p2とqσ(2)は同伴になる
…
pmとqσ(m)は同伴になる

m<nと仮定すると
1=qσ(m+1)…qσ(n)となりqσ(m+1)…qσ(n)が単元でないことに矛盾するから
m=n

この回答へのお礼

すごく丁寧で分かりやすかったです。
ありがとうございました。助かりました！
他の方もご回答ありがとうございます。

お礼日時：2022/04/30 22:19

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/04/30 19:06

これ, かなり基本的な話だと思うんだよね. だから, 使うことのできる「道具」としては「定義」が重要な位置を占めることになる.

「一意分解環」ってどのように定義されている? 「素元」ってどういうもの? 「同伴」とは?

いちおう指摘しておくと, 「Wikipedia でのように」定義するなら, この質問文に対しては
だってそれが定義じゃん
で終わりだよ.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/04/30 05:15

任意の整域で一意分解できるとは限らんような気がするんだけど....

なにか質問を勘違いしてるのかなぁ.