数学の「変分問題」について

男子大学4年生。
工学部ですが数学が好きです。

よく分からないのですが、「変分法」は偏微分方程式の中の一分野になるんでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/06/09 13:25

なんかね、「「変分法」は偏微分方程式の中の一分野」というのは「ロボットの製作は金属加工の一種」と言っているのと似たような、ナニカ倒錯した感じがするなあ。

　数学の観点では、一口に変分方程式と言ったって、どんな関数空間、どんな汎関数を考えるかによって問題の性質が大きく違う。で、物理で出てくる関数空間と汎関数は大抵、特定の種類のものに限られていているので、それらがよく調べられていて、実際、微分方程式の問題に帰着することによって解く、という技巧を使う場合が多い。（けれど、いつもいつもそれで済むとは言えない。）
　むしろ本質的なのは、物理の法則の多くが「変分原理」から生じているということ。たとえば、光の軌道が最短時間の経路になるのはご存知でしょう。同様に、いろんな法則を「ある汎関数の変分が0であるような経路こそが実際に生じる経路である」という形に表せる。この変分原理というものは、元をたどれば、（量子論における）作用積分が位相のゆらぎに対して安定であるような経路は停留曲線である、ということに由来するんですが、ま、それはさておき。
　さらに、ネーターの定理：「変分原理に基づく法則にナンラカの対称性があれば、それに対応する保存量が存在しなくてはならない」という超重要な知見も、変分法から得られます。たとえば「時間をズラしても法則は変わらない」という対称性からはエネルギー保存則、「位置をズラしても法則は変わらない」という対称性からは運動量保存則、「向きを変えても法則は変わらない」という対称性からは角運動量保存則が結論される。
　一方、近頃人気の機械学習は、要するに「汎関数の最小化」をやってるわけですから、変分法の応用だと言えます。もちろん、微分方程式に帰着できそうにないやつが相手ですね。

No.4 回答者： アスナロウ 回答日時： 2022/06/06 21:04

解析学の一分野、変分法（へんぶんほう、英: calculus of variations, variational calculus; 変分解析学）は、汎函数（函数の集合から実数への写像）の最大化や最小化を扱う。

汎函数はしばしば函数とその導函数を含む定積分として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を最大・最小とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89%E5%88%86 …
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No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/04 10:35

一部の偏微分方程式は変分法で扱えるけど

だからといって変分法を偏微分方程式の一分野というのは
変だと思う。。

変分法は汎関数の臨界点を求める手法で、
解析学の一分野です。

No.2 回答者： YUMEKOMACTI 回答日時： 2022/06/04 01:26

変分法は確かに解析学の一分野だと私も思いますが、圧倒的に解析力学の中に登場してくるので、数学書を探すよりも物理学、中でも解析力学を重点的に取り扱っている本を開いて、その本のリファレンスを頼りにしてみてはいかがでしょうか。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/04 01:01

変分法だけで独立した分野と考えていいと思います。