過去にしてきた質問に対する解答に関して質問が以下の1〜7に関して解答を頂きたく思います。 時間のある

過去にしてきた質問に対する解答に関して質問が以下の1〜7に関して解答を頂きたく思います。
時間のある時で構いませんので答えて頂きたいです。

出来の悪さに皆様にご迷惑をお掛けしてしまっていますが、私なりに必死に理解に努めています。
どうかよろしくお願い致します。

1.
「f(z)=tan(z)
の
0<|z-π/2|<π
でのローラン展開は

f(z)=tan(z)
は
z=π/2で1位の極を持つから

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

n=-1の時

a(n)=a(-1)
=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
=...
=lim_{z→π/2}{-sin(z)}lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)

lim_{z→π/2}{-sin(z)}=-1
lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)=1だから

=-1

となります」について、
n≧0の時の計算は面倒なので計算しません」
に関して、なぜn≧0の時の計算は面倒なのでしょうか？n≧0の場合は
a(n)≠0となるとは限りません。
a(n)=0となるとは限りません。
について、いまいちピンときません。具体的な計算を用いて説明して頂けないでしょうか？



2.
「g(z)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
の形」に関して、
a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の右辺の(d/dz)の残りをg(z)として作ったのでしょうか？違う場合はa(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}のどのぶぶんをg(z)と置き換えたのでしょうか？


3.
「g(z)は|z-π/2|<πで正則だからテイラー展開できる
g(z)のテイラー展開は

g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^m

0<|z-π/2|<πで
」に関して、g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^mを導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
また、なぜg(z)をテイラー展開したのでしょうか？


4.
「a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}」に置いて、n≧-1の時のa(n)の式を導くまでを教えて頂けますか？


5.
「a(n)
={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
={1/(2πi)}2πires(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}」に関して、n=-1の時、a(-1)=-1となると思うのですが正しいでしょうか？


6.
「0<|z-π/2|<πに関して、z=π/2ですが、
0<|π/2-π/2|<πとすると、0<|0|<πとなり変な不等号になりますが良いのでしょうか？
」について正しいかお答えして頂きたいです。


7.
「a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)」
に関して、Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)から
=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)となるまでの詳しい過程の計算を教えて頂けますか？

質問者からの補足コメント

• 4において、a(n)=(1/(n+1)!)g^(n+1)(π/2)を導くまでの計算をわかりやすく教えて頂きたいです。
  
  6において、z=π/2の時は0<|π/2-π/2|<πとすると、0<|0|<πと矛盾しますが、
  z=π/2の時は|z-π/2|<πと言うことでしょうか？
  
  7において、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dzから、どのようにして=b(-1)に出来たのでしょうか？具体的な過程の計算を教えて下さい。
  
  8問目について、質問したいのですが、
  a(n)
  ={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz...①
  ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
  において、①から②までの詳しい過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

    補足日時：2022/07/10 18:12

• 補足で申し訳ありません。
  質問7において情報不足ゆえに求めていた解答とは異なっていたことが分かりました。
  f(z)=tan(z)についてのa(n)を求めるまでの解答を頂きたかったのですが、解答者様はf(z)=1/(z^2-1)についてのa(n)を求めていたようです。
  f(z)=tan(z)については過去の解答からa(n)の求め方はわかりました。ただ、f(z)=1/(z^2-1)ついてのa(n)を求める過程で疑問があります。

    補足日時：2022/07/12 07:18

• 質問7の解答について、
  「a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
  ↓f(z)=1/(z^2-1)だから
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
  ↓g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)とすると
  a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz」
  のように1/{(z+1)(z-1)^(n+2)をg(z)と置きましたが、
  
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)をg(z)と置いて、g(z)はz=-1の付近でローラン展開するためg(z)=Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^mと置けて、
  Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^mを展開するとb(-1)/(z+1)+b(0)+b(1)(z+1)+b(2)(z+1)^2+…になるのはわかります。

    補足日時：2022/07/12 07:19

• b(-1)/(z+1)+b(0)+b(1)(z+1)+b(2)(z+1)^2+…からa(n)=b(-1)となる過程の計算が知りたいです。
  
  
  後、質問7に関して、
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)をg(z)と置かずに、b(m)を使わずに、ローラン展開の公式f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^nとa(n)の式のみでa(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)を導けるやり方があるならば、a(n)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)を導くまでの過程の計算を教えて下さい。
  
  
  ちなみに、f(z)=tan(z)についてのa(n)を求める際に場合のわけは0<|z-π/2|<πのみなのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/07/12 07:21

• 新しく質問9に関して、
  
  0<|z-π/2|<πの範囲、かつn≧-1の時はg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は分母により発散するため、a(n)
  =lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
  =lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
  ...
  =lim_{z→π/2}{-sin(z)}(π/2-z)/sin(π/2-z)
  =lim_{z→π/2}{-sin(z)}lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)
  とa(n)の式がもとまるわけでしまうか？
  
  また、0<|z-π/2|<πの範囲かつn≦-2の時
  被積分関数g)d(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz→π/2の時収束するから
  コーシーの積分定理から
  a(n)=0となりわけでしまうか？

    補足日時：2022/07/12 10:22

• 質問10
  2022.7.7 10:17の
  「n≦-2の時
  a(n)=0を示すために
  コーシーの積分定理を使うために
  z=π/2でのg(z)の定義
  g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
  を
  定義する必要があるのだけれども
  
  n≧-1の時は
  a(n)≠0だから
  コーシーの積分定理を使わないのだから
  z=π/2でのg(z)の定義
  g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
  を
  定義する必要は無いのです」
  に関して、n≦-2の時
  a(n)が0だとわかっているのに、なぜg(z)の式を定義する必要があるのですか？
  また、n≧-1の時は
  g(z)の定義する必要はない理由がわかりません。a(n)が0以外の式だからこそ、g(z)の式を定義する必要があると思うのですが。なぜg(z)を定義する必要がないのですか？

    補足日時：2022/07/12 19:16

• 質問11
  f(z)=tan(z)のローラン展開について
  2022.7.7 19:47
  「n≦-2の時
  g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
  と
  「z≠π/2の時、g(z)=(z-π/2)f(z)」
  nの場合わけやzの場合わけによりg(z)の式が異なるのでしょうか？
  2022.7.11 09:25では「z≠π/2の時
  g(z)=(z-π/2)tan(z)」と定義していますが、これは実はn≦-2の時のg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)であり、g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1) にn=-2を代入した際の式がg(z)=(z-π/2)f(z)だと言っているのでしょうか？
  
  質問12
  f(z)=tan(z)のローラン展開に関してn≧-1の時はa(n)≠0ですが過去にn≧-1の時のf(z)=tan(z)のa(n)の式を求めた解答はありますか？

    補足日時：2022/07/12 19:18

• 質問9の解答に関して、
  
  「a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
  となるのではありません
  =lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
  =lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
  は間違いです」
  
  なるほど正しいa(n)の式は
  a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
  なのですね？
  
  ちなみに、
  a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}の式がa(n)=0になるまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？
  
  また、0<|z-π/2|<πの範囲、n≧-1の時のa(n)の式を求めるまでの解答があれば教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/07/12 19:51

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/11 09:25

3.

z≠π/2の時はg(z)=(z-π/2)tan(z)となるのではなく

z≠π/2の時
g(z)=(z-π/2)tan(z)
とg(z)という関数を定義するのです

g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^m
ではなく

g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-π/2)^m
です

z=π/2の時g(π/2)=-1
z≠π/2の時
g(z)=(z-π/2)tan(z)
とg(z)という関数を定義すると

lim_{z→π/2}g(z)=g(π/2)
だから
g(z)は|z-π/2|<πで正則だからテイラー展開できるのです

テイラー展開は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4 …
に
書いてある通り

f(x)=Σ_{n=0～∞}(1/n!)f^(n)(a)(x-a)^n

fをgに変え
xをzに変え
nをmに変え
aをπ/2に変えると

g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-π/2)^m

となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

あの3に置いてはg(z)=(z-π/2)tan(z)ではなく、正しくはg(z)=tan(z)/(z-π/2)でしょうか？

なぜ、
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}
についてtan(z)/(z-π/2)^(n+1)ではなく、tan(z)/(z-π/2)をg(z)と定義したのでしょうか？

g(z)のテイラー展開の式を作った理由を教えてください。最終的にg(π/2)=-1となりますが、正則ゆえにテイラー展開できた為、a(n)=0となるわけでしょうか？


「7において、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dzから、どのようにして=b(-1)に出来たのでしょうか？具体的な過程の計算を教えて下さい。」に関しては、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dzに
g(z)=Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^m
=b(-1)/(z+1)+b(0)+b(1)(z+1)+b(2)(z+1)^2+…を代入していますが、z=-1より
=b(0)となると考えたのですが、なぜb(1)なのでしょうか？そして、
b(-1)からどうやってlim_{z→-1}(z+1)g(z)と導いたのでしょうか？

6において、z=π/2の時は0<|π/2-π/2|<πとすると、0<|0|<πと矛盾しますが、
z=π/2の時は|z-π/2|<πと言うことでしょうか？

お礼日時：2022/07/11 21:51

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/11 04:00

f(z)=tan(z)

を
0<|z-π/2|<π
で
ローラン展開すると

f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
z≠π/2の時
g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)

n≦-2の時
n=-2の時
g(π/2)=-1
と定義すると
lim_{z→π/2}g(z)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)
=lim_{z→π/2}{sin(z)/cos(z)}(z-π/2)
=lim_{z→π/2}sin(z)(z-π/2)/cos(z)
=lim_{z→π/2}sin(z)(z-π/2)/sin(π/2-z)
=lim_{z→π/2}-sin(z)(π/2-z)/sin(π/2-z)
=lim_{z→π/2}-sin(z)lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)

lim_{z→π/2}-sin(z)=-1
lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)=1
だから

=-1
=g(π/2)

n≦-3の時
g(π/2)=0
と定義すると
lim_{z→π/2}g(z)
=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}{sin(z)/cos(z)}(z-π/2)^(-n-1)
=lim_{z→π/2}{sin(z)(z-π/2)/cos(z)}(z-π/2)^(-n-2)
=lim_{z→π/2}{sin(z)(z-π/2)/sin(π/2-z)}(z-π/2)^(-n-2)
=lim_{z→π/2}{-sin(z)(π/2-z)/sin(π/2-z)}(z-π/2)^(-n-2)
=lim_{z→π/2}-sin(z)lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)lim_{z→π/2}(z-π/2)^(-n-2)

lim_{z→π/2}-sin(z)=-1
lim_{z→π/2}(π/2-z)/sin(π/2-z)=1
1≦-n-2だから
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(-n-2)=0
だから

=0
だから

n≦-2の時
lim_{z→π/2}g(z)=g(π/2)
となるから

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz
g(z)は|z-π/2|<πで正則だから

n≦-2の時
コーシーの積分定理から
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz=0
だから
a(n)=0
だから

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

この回答へのお礼

感謝致します。

3に関して、
g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-a)^m
を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？また、なぜz≠π/2の時はg(z)=(z-π/2)tan(z)となるのでしょうか？

4において、a(n)=(1/(n+1)!)g^(n+1)(π/2)を導くまでの計算をわかりやすく教えて頂きたいです。

6において、z=π/2の時は0<|π/2-π/2|<πとすると、0<|0|<πと矛盾しますが、
z=π/2の時は|z-π/2|<πと言うことでしょうか？

7において、a(n)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dzから、どのようにして=b(-1)に出来たのでしょうか？具体的な過程の計算を教えて下さい。

8問目について、質問したいのですが、
a(n)
={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz...①
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
において、①から②までの詳しい過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/07/11 07:01

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/10 19:34

2

z≠π/2の時　g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
n≦-2の時
z=π/2の時　g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
と
g(z)を定義したのです

このg(z)は
n≧-1の時の
a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
とは
全く関係ありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。

2に関して、
なぜ
z≠π/2の時　g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
n≦-2の時
z=π/2の時　g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
と
g(z)を定義出来た、というか作れたのでしょうか？

また、2以外の質問にも答えて頂けるとありがたいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/07/11 00:05

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/10 04:45

2

g(z)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
は間違いです

n≦-2の時
g(π/2)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
です
---------------------------
3.
z≠π/2の時　g(z)=(z-π/2)tan(z)
z=π/2の時　g(π/2)=-1
とすると
g(z)は|z-π/2|<πで正則だからテイラー展開できる
g(z)のテイラー展開は

g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-π/2)^m
------------------------------------------
4.
f(z)=tan(z)
は
z=π/2で1位の極を持つから
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
z≠π/2の時　g(z)=(z-π/2)f(z)
z=π/2の時　g(π/2)=-1
とすると
g(z)は|z-π/2|<πで正則だからテイラー展開できる
g(z)のテイラー展開は
g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-π/2)^m
z≠π/2の時　g(z)=(z-π/2)f(z)
だから
z≠π/2の時　g(z)/(z-π/2)=f(z)
z≠π/2の時
f(z)
=g(z)/(z-π/2)
=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-π/2)^(m-1)
=Σ_{n=-1～∞}(1/(n+1)!)g^(n+1)(π/2)(z-π/2)^n

a(n)=(1/(n+1)!)g^(n+1)(π/2)
とすると

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n

a(n)
=(1/(n+1)!)g^(n+1)(π/2)
=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
----------------------------------------------------
6
0<|z-π/2|<πの時
0<|π/2-π/2|<πとすると、0<|0|<πとなり矛盾するから
z≠π/2
-----------------------------------------------
7.
a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
が
f(z)=1/(z^2-1)
の
ローラン展開
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
の
a(n)
であるならば
z=1の周りの
|z-1|>2 でローラン展開する場合で
n≦-2の場合でなければ

a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)
とは
なりません。間違いです

z=1の周りの
|z-1|>2 でローラン展開する場合で
n≦-2の場合
という
条件が必要なのです

ii)
f(z)=1/(z^2-1)
を
z=1の周りの
|z-1|>2 でローラン展開する場合

f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
r>2
C={z||z-1|=r}

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)とすると
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}g(z)dz

n≦-2の時
-n-2≧0
1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)
だから
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)

g(z)={(z-1)^(-n-2)}/(z+1)　は
r>2
閉曲線C={z||z-1|=r}の内側の領域
D={z||z-1|<r}での特異点(極)は
z=-1
だけだから
留数定理から
積分の範囲が
C={z||z-1|=r}から
0<s<1
{z||z+1|=s}に変わり、

a(n)=Res(g(z),-1)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},-1)=Res({(z-1)^(-n-2)}/(z+1),-1)

↓留数定義から

a(n)={1/(2πi)}∫_{|z+1|=s}g(z)dz

z=-1はg(z)の1位の極で
g(z)の-1における留数は-1を中心とするローラン展開
g(z)=Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^m=b(-1)/(z+1)+b(0)+b(1)(z+1)+b(2)(z+1)^2+…
の
b(-1)だから

a(n)
=b(-1)
=lim_{z→-1}(z+1)g(z)
=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)

この回答へのお礼

1に関する解答を頂けないでしょうか？
計算が面倒な場合は計算部分がなくても構いません。

2に関して、g(π/2)の式には(d/dz)が見当たりませんが、
a(n)=lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}のどの部分をg(π/2)と置いたのでしょうか？

3に関しては２つの疑問があります。
テイラー展開出来るとはわかるのですが、g(z)=Σ_{m=0～∞}(1/m!)g^(m)(π/2)(z-π/2)^mの式をどのように導いたかの過程の計算を教えて下さい。後、なぜz≠π/2の時はg(z)=(z-π/2)tan(z)となるのでしょうか？

お礼日時：2022/07/10 17:29