虚数の問題です

Question

「複素数の問題です。虚数aは次の条件をみたしている。α,α^2,α^3,α^4,α^5は相異なり、これら５つの数を解に持つ実数係数の５次方程式が存在する。｜α｜= 1を示してください。」という問題です。 

複素数平面でαがどういう値か求めるにはどうすればよろしいでしょうか。
よろしくお願いします。

stomachman · Accepted Answer

justinianiさんの回答は問題の解釈を誤ってますけど、オイラーの公式を使う方法を示していらっしゃるのがヒントになります。すなわち
α＝a(cosθ＋ｉsinθ)=a e^(iθ)　(a,θは実数)
とおいて考えればよい。すると
α^n = (a^n)(cos nθ＋ｉsin nθ)=(a^n) e^(inθ)
となります。（iは虚数単位i=√(-1)です）

　じゃあ、この公式を使わない方法でしこしこ地道にやってみましょう。方針はjustinianiさんの仰ってる通りです。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

●虚数αの1乗～5乗が相異なるのだから、α≠0です。（虚数とは実数でない複素数のことですね。）

●βは0でない複素数（任意）とし、複素数zを変数とする関数gを
g(z)=β(z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)
とするとき、５次方程式
g(z)=0
は、問題に出てくる５次方程式そのものです。５次方程式の５つの解が指定されているんだから、方程式はこれしかないんです。
　この方程式が実数係数であるとは、どういうことでしょう？展開して、
g(z)= C[5](z^5)-C[4](z^4)+C[3](z^3)-C[2](z^2)+C[1](z^1)-C[0]
と書くことにしましょう。
C[5]=β
なので、C[5]=βは0でない実数です。
g(z)=0
の両辺をβでわり算して、A[n] = C[n]/βと書くことにすれば、
f(z) = g(z)/β = (z-α)(z-α^2)(z-α^3)(z-α^4)(z-α^5)
　　= (z^5)-A[4](z^4)+A[3](z^3)-A[2](z^2)+A[1](z^1)-A[0]
とするとき
f(z)=0
A[n]が実数なら、C[n]も必ず実数になります。だから「αの1乗～5乗を解とする実数係数５次方程式が存在する」とは、「A[0]～A[4]が全部実数である」ことと同じ意味です。

●A[0]～A[4]の中身を具体的に見ると
A[4]=α+α^2+α^3+α^4+α^5
A[3]=(α^2+α^4)(α+α^2+α^3+α^4+α^5)=(α^2+α^4)A[4]
A[2]=(α^5+α^7)(α+α^2+α^3+α^4+α^5)=(α^3)(α^2+α^4)A[4]
A[1]=(α^9)(α+α^2+α^3+α^4+α^5)=((α^3)^3)A[4]
A[0]=((α^3)^5)
ですね。そして、A[0]～A[4]が全部実数である。
この条件は、
(α+α^2+α^3+α^4+α^5)
(α^2+α^4)
(α^3)
((α^3)^3)
((α^3)^5)
が全部実数であることと等価です。さらに整理すれば、
(α+α^5)
(α^2+α^4)
(α^3)
が全部実数であることと等価である。

●ここで実数
r=(α^3)
を考えると、α≠0よりr≠0。だからαはrの立方根のうちの一つでなくちゃいけません。rの立方根は３つあり、１つが実数a、他の２つが虚数で、a(-1+i√3)/2とa(-1-i√3)/2です。だから
[1] α=a 
[2] α=a(-1+i√3)/2 
[3] α=a(-1-i√3)/2
の３通りしかありえない訳です。
　[1]の場合には(α+α^5)、(α^2+α^4)、(α^3)が全部実数であるのは自明です。aは幾らであっても構わないので|α|=1とは限りません。むしろ|α|=1だとα=α^3=α^5になっちゃって題意を満たしません。だから[1]の場合には「|α|>0かつ|α|≠1」となり、問題の命題「|α|=1」は否定されます。
　でも、問題はαが虚数の場合について問うているのでした。よって、話は[2][3]の場合だけに絞られます。

●では[2]α=a(-1+i√3)/2 の場合を調べます。
α^2 =(a^2)(-1+i√3)^2/4=(a^2)(-1-i√3)/2
α^3 =(a^3)
α^4 =(α^2)^2=(a^4)(-1+i√3)/2
α^5 =(α^2)r=(α^2)(a^3)=(a^5)(-1-i√3)/2
となります。
　さて、
(α^2+α^4)=-(a^2+a^4)/2+i(-a^2+a^4)(√3/2)
これが実数になるためには（aは実数ですから）、
(-a^2+a^4)=0
が必要十分です。そして、これを満たす実数はa=1かa=-1しかありません。
　また
(α+α^5) = -(a+a^5)/2+i(a-a^5)(√3/2)
これが実数になるためには（aは実数ですから）、
(a-a^5)=0
すなわち
a^4=1
が必要十分です。そして、これを満たす実数はa=1かa=-1しかありません。
　さらに、「αの1乗～5乗が相異なる」という条件が満たされているかどうか、チェックしましょう。もしa=1だとするとα=α^4になってしまってダメ。a=-1だとすると
α= -(-1+i√3)/2
α^2 = (-1-i√3)/2
α^3 =-1
α^4 =(-1+i√3)/2
α^5 =-(-1-i√3)/2
となって、これはめでたく全部ばらばらです。
　従って、「(α^3)、(α^2+α^4)、(α+α^5)が全部実数であるためには、α=-(-1+i√3)/2であれば十分」であることが分かりました。

●[3] α=a(-1-i√3)/2である場合も全く同様にして、「(α^3)、(α^2+α^4)、(α+α^5)が全部実数であるためには、α=-(-1-i√3)/2であれば十分」であることが示されます。
　そして、「αが虚数で、(α^3)が実数である」ためには、[2]か[3]のどちらかであることが必要でした。

●以上をまとめると、
「αが虚数で、(α^3)、(α^2+α^4)、(α+α^5)が全部実数である」⇔ 「α=-(-1-i√3)/2もしくはα=-(-1+i√3)/2である。」
　ここで-(-1-i√3)/2と-(-1+i√3)/2は互いに逆数の関係にあります。同じ意味ですが、
(-(-1-i√3)/2)^5 = -(-1+i√3)/2
(-(-1+i√3)/2)^5 = -(-1-i√3)/2
ですから、[2][3]の場合分けをしたけれど、実は集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5}としては同じものを指しているんですね。

●あとは
　「α=-(-1-i√3)/2もしくはα=-(-1+i√3)/2である」ならば|α|=1である
を証明すれば良いわけです。これは簡単。
これで話は一応おしまいなんですが、ここで終わったら詰まらないです。

●|α|=1ということは、αの１乗～５乗は全て、複素平面上の単位円の円周上に乗っている訳です。そして
α^6=((α^3)^2)=1
ですね。グラフを描いて{1,α,α^2,α^3,α^4,α^5}が円周を６等分していることを確認してみてください。つまり{1,α,α^2,α^3,α^4,α^5}は「1の６乗根」の集合です。
　それから是非、f(z)の具体的な形を求めてみてください。A[0]～A[4]を具体的に求めるにはa=-1より
(α^3)=(a^3)=-1
(α^2+α^4)=-(a^2+a^4)/2=-1
(α+α^5) = -(a+a^5)/2=1
を用いれば良いので簡単です。
　一方{1,α,α^2,α^3,α^4,α^5}を解とする６次方程式は
z^6 -1=0
ですね。この６つの解のうち、z=1という解を除いた５次方程式は
(z^6 -1)/(z-1)=0
と表すことができます。
f(z) = (z^6 -1)/(z-1)　　（つまり(z-1)f(z) = z^6-1）
を確認してみて下さい。

●そういう訳で、この事情が分かっている人にはとても見通しの良い問題だったんです。

noname#1455 · Answer

｜α｜＝１は、与条件という理解でいいんですよね？
　α＝cosθ＋ｉsinθとおき、
(ｘ－α)(ｘ－α＾２)(ｘ－α＾３)(ｘ－α＾４)(ｘ－α＾５)＝０
の左辺に代入し、展開してｘの式として整理後、係数部分の虚部＝０とおいて得られたθの方程式を解く、という方法はいかがでしょう。
　実際に解いていませんので、自信がありませんが。ごめんなさい。

nikorin · Answer

虚数aというのは複素数αの間違い？

実数係数の５次方程式が相異なる複素数α,α^2,α^3,α^4,α^5を解に持つ
からといって|α|＝１になるとは思えないのですが、なにか条件が
抜けていないでしょうか？
（実数も複素数に含まれますから、|α|が１でない例がいくらでも作れます。）

それと、ご質問は問題自体を解きたいのか、問題が解けたとしてαの具体的な形を
求めたいのか、どちらなのでしょう？
補足をお願いします。

guiter · Answer

αが実数だと解はすべて実数になり|α|≠１の場合があり困りますので、
αの虚数部分が０でないとします。
すると、５次方程式が実数係数であることから複素共役α*も解になります。

このα*がα^2,α^3,α^4,α^5のどれかと等しいということや
重解を持たないということから考えてみて下さい。

guiter · Answer

stomachman さんには珍しく基本的なところで見落としがあるようです。
A[4]=α+α^2+α^3+α^4+α^5 = 0　の場合がありますね。
この場合、(α^2+α^4) 、α^3 が実数である必要がありません。

少し計算が大変なので、No3 の回答の方針でやってみます。
まず、実数係数の多項式 f(z) の解の一つが a+bi であるなら
その複素共役 a-bi も解であることは簡単に確認できます。

すると、今の場合αの複素共役α*も解なので
α*はα^2,α^3,α^4,α^5 のどれかに等しいことになります。
ここで、n が整数のとき
　α* = α^n
が成り立つとき α = re^(iθ) とすると
　re^(-iθ) = r^n e^(inθ)
となるので両辺の絶対値をとると r=1 すなわち |α|=１であることがわかります。
以下、|α|=１として話を進めます。

(1)α^5=α*のとき
　　α^6 = αα^5 = αα* = 1
　したがって、αは１の６乗根ですから
　　α = e^(i2nπ/6) = e^(inπ/3)
　です。αの偏角θを -π＜θ≦π とすると n=-2,-1,0,1,2,3 ですが
　n=±1 の二つが重解を持たないという条件を満たすものです。
　stomachman さんの回答にあるように
　　α = e^(±iπ/3) = (1±√3)/2
　です。
　どちらを選んでも集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5}としては変わらないことは
　すでに stomachman さんが書かれているとおりです。
　このとき、５次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。

(2)α^4=α*のとき
　　α^5 = αα^4 = αα* = 1
　したがって、αは１の５乗根ですから
　　α = e^(i2nπ/5)
　です。こんどは n=-2,-1,0,1,2 のうち n=0 だけが不適です。
　　α = e^(±2π/5) , e^(±4π/5)
　　　 = cos(2π/5)±sin(2π/5) , cos(4π/5))±sin(4π/5)
　　　 = {(√5-1)±i√(10+2√5)}/4 , {-(√5+1)±i√(10-2√5)}/4
　の４通りです。
　(1)と同じくどれを選んでも集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5}としては変わりません。
　このとき、５次方程式は x^5-1 = 0 となります。

(3)α^3=α*のとき
　　α^5 = α^2 α^3 = (αα)α* = α　であるから不適。

(4)α^2=α*のとき
　　α^4 = α^2 α^2 = (αα)α* = α　であるから不適。



＞虚数αが実数になることなんてあるのでしょうか。
αが虚数という前提があるなら
No3 での「αが実数だと解はすべて実数になり」という部分は気にしないで下さい。

guiter · Answer

文系の方ということですので、もう少しアドバイスをしたいと思います。
No5 の回答を次のようにすれば、複素数の極表示を使わずに出来ます。


すると、今の場合αの複素共役α*も解なので
α*はα^2,α^3,α^4,α^5 のどれかに等しいことになります。
ここで、n が整数で
　α* = α^n
が成り立つとき α = a+ib とすると
　a-ib = (a+ib)^n
となるので両辺の絶対値をとると
　|a-ib| = |a+ib|^n
⇔√(a^2+b^2) = (√(a^2+b^2) )^n
⇔(√(a^2+b^2) )^(n-1)
すなわち |α| = |a+ib| = √(a^2+b^2) = １であることがわかります。
以下、|α|=１として話を進めます。

(1)α^5=α*のとき
　　α^6 = αα^5 = αα* = 1
　したがって、αは１の６乗根ですから
　　(a+ib)^6 = 1
　を解くことになります。少し大変ですが a^2+b^2 = 1 などをうまく使ってくださ
い。
　余分な解も出てきますが、条件を満たすものは
　　α = e^(±iπ/3) = (1±i√3)/2
　になるはずです。
　このとき、５次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。

(2)α^4=α*のとき
　　α^5 = αα^4 = αα* = 1
　したがって、αは１の５乗根ですから
　　(a+ib)^5 = 1
　を解くことになります。こちらのほうが解くのが難しいかもしれませんが頑張って
みてください。
　　α = {(√5-1)±i√(10+2√5)}/4 , {-(√5+1)±i√(10-2√5)}/4
　の４通りが出てきます。
　このとき、５次方程式は k(x^5-1) = 0 となります。

(3)α^3=α*のとき
　　α^5 = α^2 α^3 = (αα)α* = α　であるから不適。

(4)α^2=α*のとき
　　α^4 = α^2 α^2 = (αα)α* = α　であるから不適。


以上です。

(1)で出てきた解から求まる集合 {α,α^2,α^3,α^4,α^5} は
複素平面上の単位円の周上で正六角形の頂点になっています（頂点(1,0)を除いた５
つ）。
また、(2)で出てきた解から求まる集合 {α,α^2,α^3,α^4,α^5} は
複素平面上の単位円の周上で正五角形の５つの頂点になっています。

guiter · Answer

＞計算してみますと、α^6 = 36(ab)^4 - 16(ab)^4 + 24(ab)^5
＞になりました。
ここからだと a,b を求めにくそうです。
次の計算を参考にしてみて下さい。

　(a+bi)^6 = 1
⇔(a^6 - b^6 - 15a^4b^2 + 15a^2b^4) + (6a^5b + 6ab^5 - 20a^3b^3)i = 1
⇔(a^2 - b^2)(a^4 + b^4 - 14a^2b^2) + 2ab(3a^4 + 3b^4 - 10a^2b^2)i = 1
⇔(2a^2 - 1){(a^2+b^2)^2 - 16a^2(1-a^2)} + 2ab{3(a^2+b^2)^2 -16a^2(1-a^2)}i
= 1
⇔(2a^2 - 1)(16a^4 - 16a^2 + 1) + 2ab(16a^4 - 16a^2 + 3)i = 1

したがって
　(2a^2 - 1)(16a^4 - 16a^2 + 1) = 1　　　…(1)
　ab(4a^2 - 1)(4a^2 - 3) = 0　　　…(2)
の２式を同時に満たす a を求めます。

(2)式より
　・ a=0 のとき　(1)式の左辺＝－１となり解なし。
　・ b=0 のとき　a^2+b^2=1 から a=±1 となりこれは(1)式を満たすのでＯＫ。
　・ 4a^2-1=0 のとき　a=±1/2 は(1)式を満たすのでＯＫ。
　・ 4a^2-3=0 のとき　a=±√3/2 は(1)式を満たさないので解なし。
以上より
　a=±1,±1/2
が求まったので、それぞれの a に対する b を a^2+b^2=1 から求めると
　(a,b) = (1,0) (1/2,√3/2) (-1/2,√3/2) (-1,0) (-1/2,-√3/2) (1/2,-√3/2)
の６つの解が出てきます。
これらの点は、複素平面の単位円上で点(1,0)から反時計回りに 60°ごとに現われて
います。
１の６乗根を求める方程式を解いたわけですから当然の結果なわけです。

このうち、(±1,0) はαが実数になるので不適。
また、(-1/2,±√3/2) は１の３乗根になっていてα^4=αとなるので不適。
結局、問題の条件を満たすαは
　α=(1±i√3)/2
の２つとなります。

今、αがどちらであっても集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5} は変わりません。
上で求めた６点のうち (1,0) を除くものになっているはずなので、
確認してみてください。
このとき、５次方程式は
　k(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5) = 0  (kは定数)
にαの値を代入すれば出てきます。
ここでは少し工夫して、今は回答 No5 の (1)α^5=α* の場合ですから
　α^5=α*
　α^4=(α*)^2　　（α^5=α* の両辺にα*をかけて得る）
　α^3=(α*)^3=-1
となります。これを使うと
　k(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5) = 0
⇔k(x-α)(x-α*)(x-α^2)(x-(α*)^2)(x+1) = 0
⇔k{x^2-(α+α*)x+1}{x^2-(α^2+α*^2)x+1}(x+1) = 0　　（ここでαを代入）
⇔k(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x+1) = 0
⇔k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0
が出ます。


(a+bi)^5=1 の場合も
　(a+bi)^5=1
⇔a(a^4 + 5b^4 - 10a^2b^2) + b(5a^4 + b^4 - 10a^2b^2)i = 1
⇔a(16a^4 - 20a^2 + 5) + b(16a^4 - 12a^2 + 1)i = 1
のように変形し、同様のことをすれば
　a=1,(√5-1)/4,-(√5+1)/4
の３つが求まり、
　(a,b) = (1,0) ( (√5-1)/4,±{√(10+2√5)}/4 )
 -(√5+1)/4,±{√(10-2√5)}/4 )
の５つがαの候補になります。このうち、(1,0) だけが消えますね。

また、この場合の５次方程式は
　α^5=1
　α^4=α*
　α^3=(α*)^2
などから、
　k(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5) = 0
⇔k(x-1)(x-α)(x-α*)(x-α^2)(x-(α*)^2) = 0
⇔k(x^5-1) = 0
と出ます。

虚数の問題です

｜α｜＝１は、与条件という理解でいいんですよね？

虚数aというのは複素数αの間違い？

この回答への補足

αが実数だと解はすべて実数になり|α|≠１の場合があり困りますので、

justinianiさんの回答は問題の解釈を誤ってますけど、オイラーの公式を使う方法を示していらっしゃるのがヒントになります。

stomachman さんには珍しく基本的なところで見落としがあるようです。

文系の方ということですので、もう少しアドバイスをしたいと思います。

＞計算してみますと、α^6 = 36(ab)^4 - 16(ab)^4 + 24(ab)^5

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