ある大学の入試問題に a[1]=2, a[n+1]=1+1/(1-Σ[k=1→n]1/a[k]) で

ある大学の入試問題に
a[1]=2,
a[n+1]=1+1/(1-Σ[k=1→n]1/a[k])
で定まる数列{a[n]}が出てきて何故か分母になにも言及がないまま問いが進んでいくのですが、どうしてそんなことが許されるのかよく分かりません。

分母≠0って簡単に言えるのでしょうか？つまり、
Σ[k=1→n]1/a[k]≠1
が成り立つことってごちゃごちゃ考えなくても直感的に明らかなのでしょうか？

この数列がどのnについてもちゃんと定義できていくことの証明を教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.4 回答者： iruiru298 回答日時： 2022/07/26 06:15

直観的に理解するとしたら、「アキレスと亀」の話を想像すれば直観的にわかるかも

この問題、
１に近づく数列bn = Σ[k=1→n]1/a[k]を考えて、残りの距離(1-bn)の逆数に＋１したちょっとだけ短い補正値a[n+1]を考えて、b[n+1]を更新する
感じかな

アキレスはカメに永遠に追いつかない
→（bnは永遠に１に追いつかない、Σ[k=1→n]1/a[k]＜1）
→　つまり、Σ[k=1→n]1/a[k]≠1

証明はＮｏ２の回答の通り

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2022/07/25 17:46

>なぜa[n]>1がすぐに言えるのですか？

「自明」は言い過ぎでした、すいません
出題者の意図を読み取れば、「容易に」a[n]>1がいえるのでは？
に訂正。
ヒント：
bn = Σ[k=1→n]1/a[k] みたいな数列bnを考えてみたらいかが？

No.2 回答者： cage64 回答日時： 2022/07/25 17:44

もし何の前フリもなく、この漸化式だけ出てきて　n→∞　を考えるなら、確かに、最初にそのことを示すべきだと思う。

ただし、証明自体は単純計算。

s[n]=Σ[k=1→n]1/a[k]と置くとき、数学的帰納法で s[n]<1 を示す。

n=1の時、s[1]=1/2<1 だからOK

nまでOKとする。
a[n+1]=1/(1-s[n])=(2-s[n])/(1-s[n])
であり、今、帰納法の仮定から　s[n]<1 だから、2-s[n]>0 で、したがって、
1/a[n+1]=(1-s[n])/(2-s[n])
よって、
s[n+1]=s[n]+(1-s[n])/(2-s[n])
だから、
1-s[n+1]=1-s[n]-(1-s[n])/(2-s[n])=(1-s[n])^2/(2-s[n])
となり、帰納法の仮定からこれは正。したがって　s[n+1]<1

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2022/07/25 16:17

>分母≠0って簡単に言えるのでしょうか？

a[n]>１より自明では？

この回答へのお礼

ハア？？？？？？？？？？？？

なぜa[n]>1がすぐに言えるのですか？

お礼日時：2022/07/25 16:33