写真の問題で、なぜ「X+Y＝2」「XY=P」 「Pのとりうる値の範囲は2つの実数解X.Yをもつ」 と

写真の問題で、なぜ「X+Y＝2」「XY=P」
「Pのとりうる値の範囲は2つの実数解X.Yをもつ」
という、3つの条件からP≦1という範囲が求まるのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/08/26 23:24

2X-X²=P →X²-2X+P=0

判別 4-4P≧0 → 1≧P
つまり、XとYが実数ならPは1以下ということ。

ただ、これだけではPの満たすべき範囲が決まるだけで
最大値を決めるのには足りない気がします。
X=Y=1でP=1が必要そう。

やっぱり平方完成が一番わかりやすい。

また、相加平均≧相乗平均で1≧Pも良いと思う。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/08/27 14:46

x+y=2 → y=2-x 。

xy=p 上の式を代入 → x(2-x)=p 、
2x-x²=p → x²-2x+p=0
(x-1)²-1+p=0 → (x-1)²=1-p 。
左辺は 非負ですから 1-p≧0 → p≦1 。

xy=p で p の最大値は +,- を入れ替えた
x²-2x+p の最小値と 一緒の事です。
つまり y=(x-1)²-1+p のグラフの 頂点座標です。
従って x=1 のとき y=0 → p=1 となります。