スカラー場φのベクトル演算

∇∇φと(∇φ)^2の違い、特に物理的意味の違いを解説願います。

質問者からの補足コメント

• 追加で、
  (∇^2)φ

    補足日時：2022/09/11 10:08

No.9 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2022/09/12 12:58

>1)の名称はラプラシアンで、値はスカラー量ですよね。

∇^2φは「φのラプラシアン」と呼ぶ事はあるようですが、単に「ラプラシアン」と言えば∇^2を指すのが普通でしょう。「φの」が明らかな文脈なら省略する事はあるかもというくらい。

φがスカラー場なら∇^2φもスカラー場です。


> 2)の名称は何ですか？また値は1)と同じくスカラー量ですか？
特定分野で名前を付けるのはあるかもしれませんが、一般名称はないでしょう。どうしても呼ぶ必要があるなら、「φの勾配の二乗」のように演算方法を羅列するくらい。

ベクトル場のノルムの二乗(=自分自身と内積)なので当然スカラー場です。


> 3)　1)と2)の物理的意味の違いは何ですか？

物理的意味は、具体的な物理法則に基づいて見出すものです。どんなスカラー場かを決めず(物理法則に言及せず)に物理的意味を見出すのは無理な話です。

適当なスカラー場を想定して良いのだとしても、正直全然違う量なので何を説明する必要があるのかさっぱりわかりませんね。例えば1次元の運動を考えている時に「加速度」と「速度の二乗」の「物理的意味の違い」は何か書いて下さい(または違いが分からない旨書いて下さい)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2022/09/13 11:21

No.8 回答者： eatern27 回答日時： 2022/09/11 14:16

デカルト座標系では

∇・∇φ=∇^2φ=△φ=div(gradφ))=∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂y^2+∂^2φ/∂z^2
(∇φ)^2=(gradφ)^2=(∂φ/∂x)^2+(∂φ/∂y)^2+(∂φ/∂z)^2
と計算する量ですね。

なお、勾配の勾配(というよりベクトル場の勾配)も概念自体は普通にあります。
∇∇φ=grad(gradφ))はi,j成分が∂^2φ/∂x_i∂x_jであるような量(テンソル場)です。

この回答へのお礼

有難うございます。

1)　∇・∇φ=∇^2φ=△φ=div(gradφ))=∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂y^2+∂^2φ/∂z^2

2)　(∇φ)^2=(gradφ)^2=(∂φ/∂x)^2+(∂φ/∂y)^2+(∂φ/∂z)^2

1)の名称はラプラシアンで、値はスカラー量ですよね。
2)の名称は何ですか？また値は1)と同じくスカラー量ですか？
3)　1)と2)の物理的意味の違いは何ですか？

＞なお、勾配の勾配(というよりベクトル場の勾配)も概念自体は普通にあります。

つまり、勾配（ベクトル＝1階テンソル）→　勾配の勾配（1階テンソル）への変換ですね。
これは納得です。

お礼日時：2022/09/11 18:51

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/11 10:43

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%83%96 …

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/11 10:01

そうでした。

間違えました。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/11 09:24

∇∇φは∇(∇φ)とできました。

この回答へのお礼

勾配の勾配って何？
意味ある？

お礼日時：2022/09/11 09:50

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/11 09:02

(∇^2)φ、Δφ　には定義があります。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%83%96 …

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/09/11 08:38

2つとも無意味な記述です。

この回答へのお礼

(∇^2)φ
これも無意味？
Δφ
これも無意味？

お礼日時：2022/09/11 08:42

No.2 回答者： HONTE 回答日時： 2022/09/11 08:31

教えたいけど、

その文字の打ち方が…。

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2022/09/11 08:30

もう少々お待ち下さい。