『３本の雨傘』

確率の問題で手古摺っています。次の問題です。

「A、B、Cの三人が雨の日、近所のコンビニに買い物に行った。買い物を済ませ、ドアわきの傘立てに来てみると、見た目そっくりの３本の傘が横一列に並んでいる。傘を開いてみねば、どれが誰の傘か、はっきりとはわからないが、三人には傘の置き方にそれぞれクセがあり、大体見当がつくと思われた。ここでは、傘に左端から順に①、②、③の番号が振られているものとしよう。①は左端の傘立ての外枠近くに置かれ、②は握りのJの字の曲がりの部分が外側に向いている。③は完全に閉じられていず、ほんのわずかに開いている。そこで、A、B、Cの各自はこう考えた。
A「俺は、傘を一番外枠近くに置く癖があり、それは４回中２回だ。つまり、①が俺の傘の確率は５０％ということだ。けど、４回の残り２回は１回ずつが②と③の置き方になっちまう。だから２５％ずつ。よし、俺は①をまず手に取ろう」
B「私は、５回のうち３回、傘を②みたいに置く。そして、残り２回の１回ずつが①と③のように置いているから、②が私の傘の確率は６０％ね。じゃあ、私は②を選ぶことにしようっと」
C「僕は傘を４/6の割合で、③の如く置く。そして、１/６ずつ、①と②だ。ということは、③が僕の傘である確率は約66.7％となる。ということは、③を選べば一番、確率が高いんだな」
さて、A、B、Cが自分の傘を当てる確率は実際、何％だろうか？」

以上の問題です。式を立てるのがなかなかうまくいきません。何か、意地悪なひっかけ問題のような気もしてきます。どうすればいいでしょうか？

No.8 回答者： qas2021 回答日時： 2022/10/19 19:29

思考実験なのは勿論承知しています。

仮定を解答中に明示する必要があることも同意いたします。

ただ、私は
> A,B,C の 3 人が、それぞれ独立に自分の癖に従うとする。
とは仮定できないと考えています。

実際の現場ではあり得なさそうなことでも、問題文にそう仮定して良いとあれば気にはしませんが、そうは書かれていないので、いくら思考実験とはあまりに実際の現場と異なりそうな仮定はおきたくはありません。

とはいえ、No.5にも書いたとおり、さらに仮定をおく必要が生じてしまうので、問題文にもう少しきちんと条件を記載してもらいたいということです。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/19 18:08

いや、ここで「実際の現場」を持ち出すのは、どうなの？

数学の問題は、実際の事象じゃなく、思考実験ですよ。
そうでないと「直線を引く」ことすら現実には不可能だけど、
そういう話じゃないでしょ。

A,B,C の言葉は、既に傘が置かれていた場合の行動を説明していません。
その条件下に「何％だろうか？」と出題するのであれば、
説明されていない条件は結果に影響しないと仮定するのが自然でしょう？
もちろん、その「仮定」は、暗黙に利用するのではなく
解答中に明示する必要があります。(中高の教科書は、この点がダメだけど。)
No.3 の冒頭を参考にしてみてください。
仮定は自由に置くものなので、どの仮定が正解とかはありません。
大事なのは、何を仮定して計算をしたのかをきちんと明示することです。

No.6 回答者： qas2021 回答日時： 2022/10/18 22:27

No.5のお礼

> 実際の現場では、独立と排反がはっきりしないケースもあるという例えでしょうか？

そういう例えのための問題ではないと思いますが、現実的には、既に傘が立てかけられている場所と空いている場所があれば、空いている方に入れることが多いと思いますので、きちんと条件を書いてもらいたいところです。

No.5 回答者： qas2021 回答日時： 2022/10/17 21:14

No.1さんも記載していますが、確かによく分りませんね。

①～③は排反で、傘立て1カ所に傘を複数本入れることができて、A~Cが独立に傘を入れるのであれば、No.3さんの回答で良いのですが……。

でも、傘立て1カ所に傘は1本しか入れることができないとなると、傘を入れる順番も考えないといけませんね。
その場合、①が既に埋まっていてAが傘を入れる場合、②に (1/4)/(1/4+1/4) の確率で、②に (1/4)/(1/4+1/4) の確率で傘立てに入れると考えるのでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。実際の現場では、独立と排反がはっきりしないケースもあるという例えでしょうか？

お礼日時：2022/10/18 14:22

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/10/17 12:14

#2です。

私の案は、間違っていたので撤回します。

AさんとBさんが正解すれば、Cさんも自動的に正解になるという制約が入ることを見逃していました。

ありものがたりさんのおっしゃるように、6種類の取り合わせしかないです。

私の考え方は9種類考えることになってしまいますが、AさんとBさんが正解でCさんだけが間違えるという、あり得ないケースを含んでしまいます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/17 09:28

A,B,C の 3 人が、それぞれ独立に自分の癖に従うとする。

傘の配置は 3^3 = 27 通り生じ得るが、
実際には ①,②,③ に 1 本づつ傘があるので、←[＊]
この条件下に各人の予想が当たっている条件付き確率
を求めることになる。
[＊] の条件を満たす傘の配置は
S = { A①B②C③, A①B③C②, A②B①C③,
　　　A②B③C①, A③B①C②, A③B②C① }
の 6 通りだから、各場合の起こる確率
P(A①B②C③) = (2/4)(3/5)(4/6),
P(A①B③C②) = (2/4)(1/5)(1/6),
P(A②B①C③) = (1/4)(1/5)(4/6),
P(A②B③C①) = (1/4)(1/5)(1/6),
P(A③B①C②) = (1/4)(1/5)(1/6),
P(A③B②C①) = (1/4)(3/5)(1/6)
より、求めたい条件付き確率は
P(A①B②C③) / ∑[x∈S]P(x) = (2/4)(3/5)(4/6) / {
　　(2/4)(3/5)(4/6) + (2/4)(1/5)(1/6) + (1/4)(1/5)(4/6)
　　+ (1/4)(1/5)(1/6) + (1/4)(1/5)(1/6) + (1/4)(3/5)(1/6) }
= 24 / { 24 + 2 + 4 + 1 + 1 + 3 }
= 24/35.

この回答へのお礼

ありがとうございます。今一度、よく考えてみます。

お礼日時：2022/10/18 14:18

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/10/17 08:59

たとえばAさんは、BさんとCさんの意見を聞いて、自分の傘だという確信が上がるということで、条件付き確率を確率を使ったベイズの問題になるということかしら。

つまり、Aさんに関しては、事前確率は、
①0.5、②0.25、③0.25、です。

しかし、Bさんの意見（私の傘じゃない確率）は、
①0.8、②0.4、③0.8 （Bさんの傘である確率は①③で計40％なので、20％ずつ按分し、その排他の値としています）

これで事後確率が計算され、同様にCさんの意見でも事後確率が計算され、段階的に自分の傘である確率が上がっていく、というロジックなのでは？

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/17 08:12

これ3つの事象は排他じゃなくて独立なんだよね?

描写がいまいちで良くわからんけど？

この回答へのお礼

ご指摘、ありがとうございます。想像するに、この問題、描写をイマイチにせざる得なかったのでは？

お礼日時：2022/10/18 14:17