数II、円と直線の共有点の範囲について Kの値を出すまでは行けるのですが、 ○≦k≦○ k＜○，○＜

数II、円と直線の共有点の範囲について

Kの値を出すまでは行けるのですが、
○≦k≦○
k＜○，○＜k
の使い分けができません。どんな場合にこの2つを使い分けるのでしょうか？
画像の問題で躓いているので良ければ解説してください‪(..)

上が問題で下が答えです。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2022/10/22 15:48

(k-a)(k-b)>0 と云う事は 2つが共に 同符号だ と云う事です

つまり k-a>0 且つ k-b>0 , 又は k-a<0 且つ k-b<0 になります。
従って a, b の 小さな値より小さく、大きい値より大きくなります。

(k-a)(k-b)<0 と云う事は 2つが 異符号だ と云う事です。
従って 上の場合の反対 a, b の値の 間が 答えになります。

以上は 数直線を書いてみると 分かり易いと思います。

グラフで 接する場合や 文章で 以上や以下の言葉があるときは、
k≧a や k≦a 等の = の付いた 式になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/10/22 16:49

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/22 15:43

(1)

y=2x-k…①
x^2+y^2=9…②
①を②に代入すると
x^2+(2x-k)^2=9
5x^2-4kx+k^2=9
5x^2-4kx+k^2-9=0
①と②が共有点をもちxは共有点のx座標だから
この2次方程式が実数解xをもつから
判別式≧0だから
D/4=4k^2-5(k^2-9)=45-k^2≧0
45-k^2≧0
0≧k^2-45
k^2-45≦0
(k+3√5)(k-3√5)≦0
∴
-3√5≦k≦3√5

(2)
y=-3x-k…③
x^2+y^2=10…④
③を④に代入すると
x^2+(-3x-k)^2=10
10x^2+6kx+k^2=10
10x^2+6kx+k^2-10=0
共有点をもたないのだから
この2次方程式が実数解xをもたないから
判別式<0だから
D/4=9k^2-10(k^2-10)=100-k^2<0
100-k^2<0
0<k^2-100
k^2-100>0
(k+10)(k-10)>0
∴
k<-10.または.10<k

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/22 13:20

＞○≦k≦○

k＜○，○＜k
の使い分けができません。

「使い分ける」という意味がよく分かりませんが、単に「条件を満たすものを求めた結果そうなる」ということです。

(1) は「共有点を持つ」という条件ですから、「接してもよい」ということです。
なので等号が入ります。
（直線の式を円の式に代入した二次方程式で、D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 なら重解をもち、どちらも「共有点を持つ」ことになるので、条件は D≧0）

(2) は「共有点を持たない」という条件ですから、「接してはだめ」ということです。
なので等号は入りません。
（二次方程式で、D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 なら重解をもち、どちらも「共有点を持つ」ことになるので、「共有点を持たない」ための条件は
D<0）

ただそれだけのことです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/22 13:15

「kの値を出すまではいける」というのは、

境界となる k の値を求めることはできた
という意味でしょうか？
質問の例題で言えば、円と直線が接するとき
の k が計算できたということですかね。

例えば写真の(1)で境界となる k が
k = ±3√5 と判ったのであれば、
実数 k が
k < -3√5,
k = -3√5,
-3√5 < k < 3√5,
k = 3√5,
3√5 < k
の 5区画に分割されたことになります。
そのうちどれが解に含まれるかを
具体的な k の値を各区画からひとつづつ
代入して調べればよいです。

k = ±3√5 の場合は、
接点が共有点なので解に含まれます。
k < -3√5 の例として k = -10000,
-3√5 < k < 3√5 の例として k = 0,
3√5 < k の例として k = 10000
とか(他でもよい)を代入して円と直線の共有点の有無を調べれば、
k = -10000 で共有点がないから k < -3√5 では共有点がない,
k = 0 では共有点があるから -3√5 < k < 3√5 では共有点がある,
k = 10000 で共有点がないから 3√5 < k では共有点がない
ことが判ります。
k = ±3√5 が境界であるとは、そういう意味です。

問題点は、この話を解って円と直線が接する k を求めたのか
どうかですが...
あなたは、何のために「kの値を出」したのでしょうか？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/22 03:50

a<bのとき

(k-a)(k-b)<0
のとき
a<k<b

(k-a)(k-b)>0
のとき
k<a.または.b<k

この回答へのお礼

そういう決まったものなんですかね？？
図を見た時にkがどの範囲を示してるのかいまいち分からなくて、、
なぜそうなるのかとかありますか？

お礼日時：2022/10/22 12:49