No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>Oを頂点とし、平行四辺形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDがある。
> 辺OAの中点をP、辺OBを2:1に内分する点をQとし、直線OC上にOR=kOC
> となる点Rをとる。ただし、Kは実数の定数である。(ベクトルは省略させてください)
OP=(1/2)OA,OQ=(2/3)OB,OR=kOC
平行四辺形ABCDだから、AB=DCより、OB-OA=OC-OD だから、OD=OA+OC-OB
>(1)直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。
DQとPRの交点をEとする。
△OACで、PE:ER=s:1-sとすると、
OE=(1-s)OP+sOR=(1-s)・(1/2)OA+s・kOC
=(1/2)(1-s)OA+ksOC ……(1)
△OBDで、QE:ED=t:1-tとすると、
OE=(1-t)OQ+tOD=(1-t)・(2/3)OB+tOD
=(2/3)(1-t)OB+t(OA+OC-OB)
=tOA+{(2/3)-(5/3)t}OB+tOC ……(2)
(1)(2)より、係数比較すると、
(1/2)-(1/2)s=t,(2/3)-(5/3)t=0,ks=t
連立で解くと、
t=2/5,s=1/5,k=2
よって、k=2
>(2)直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。
平面PQRから、P,Q,Rは一直線上にないから、Rは直線PQ上にない。
直線PQ上の1点をFとすると、
直線RFは、平面PQR上の直線だから、直線RFが直線ODと平行であれば、
直線ODと平面PQRは平行である。
RF=mODとおくと、
OF-OR=m(OA+OC-OB)
OF=kOC+mOA+mOC-mOB
=mOA-mOB+(k+m)OC ……(3)
点Fは、直線PQ上の点だから、
PF:FQ=n:1-nとすると、
OF=(1-n)OP+nOQ=(1-n)・(1/2)OA+n・(2/3)OB
=(1/2)(1-n)OA+(2/3)nOB ……(4)
(3)(4)より、係数比較すると、
m=(1/2)-(1/2)n,-m=(2/3)n,k+m=0
連立で解くと、
m=2,n=-3,k=-2
よって、k=-2
でどうでしょうか? 確認してみてください。
No.2
- 回答日時:
(1)直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。
>ベクトルを↑で表し、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑c、↑OD=↑d
とします。
↑PR=↑OR-↑OP=k↑c-(1/2)↑a
↑QD=↑OD-↑OQ=↑d-(2/3)↑b
直線DQと直線PRが交わるなら、4点P、Q、R、Dは同一平面上にある
ので、s、tを実数定数として、↑PQ=s↑PR+t↑QDが成り立つ。
↑PQ=↑OQ-↑OP=(2/3)↑b-(1/2)↑aだから
(2/3)↑b-(1/2)↑a=s↑PR+t↑QD=sk↑c-(s/2)↑a+t↑d-(2t/3)↑b
整理して、
(1-s/2)↑a-(2/3)*(t+1)↑b+sk↑c+t↑d=0・・・・・(ア)
↑AB=↑b-↑a、↑DC=↑c-↑d、平行四辺形ABCDだから、↑AB=↑DC、
よって、↑b-↑a=↑c-↑d、↑d=↑a-↑b+↑c・・・・・(イ)
(イ)を(ア)に代入、整理
(1-s/2+t)↑a-{(5/3)t+(2/3)}↑b+(sk+t)↑c=0・・・・・(ウ)
↑a、↑b、↑cは互いに一次独立なので、(ウ)が成り立つためには
(1-s/2+t)=0、(5/3)t+(2/3)=0、sk+t=0が成り立つ必要がある。
よって、t=-2/5、s=6/5、k=-t/s=1/3・・・答
(2)直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。
>直線ODと平面PQRが平行であれば、u、vを実数定数として
↑d=u↑PQ+v↑QRが成り立つ。↑QR=↑OR-↑OQ=k↑c-(2/3)↑b
↑d=(2u/3)↑b-(u/2)↑a+vk↑c-(2v/3)↑b、(イ)を代入、整理
(1+u/2)↑a-(1+2u/3-2v/3)↑b+(1-vk)↑c=0
↑a、↑b、↑cは互いに一次独立なので、
1+u/2=0、1+2u/3-2v/3=0、1-vk=0
u=-2、v=-1/2、k=1/v=-2・・・答
No.1
- 回答日時:
完解すると勉強にならないと思いますので、誘導・解法方針説明を中心に書きます。
まず、頂点Oから見るものとし、立体なので3本のベクトルを選んで全てを記述することにします。ここでは仮に、ベクトルOA,OB,OCを使うこととしましょう。
ベクトルOD,OP,OQ,ORはOA,OB,OCを用いて簡単に表せますよね(図を書いて計算してみてください)。
これが準備です。
(1) これまでの準備を用いて、計算過程だけ示します。
1.ベクトルDQとベクトルPRをOA,OB,OCを用いて表現します。
2.直線DQとPRが交わることから、定数i,jを用いてOD+iDQ=OP+jPRという関係が得られます。これをOA,OB,OCだけで表しましょう。
3.OA,OB,OCは線形独立ですので、左辺/右辺の(OA,OB,OC)の各係数は等しくならなければなりません。これによってi,j,kに関する連立方程式が得られるはずです。
4.この連立方程式をとけばkの値が得られます。
(2) 平面PQR上の任意のベクトルは、ベクトルPQとベクトルPRの線形結合によって表されます。これがベクトルODと同じになれば良いのです。
1.OD=sPQ+tPRとします。
2.OD,PQ,PRをOA,OB,OCだけで表しましょう。
3.やはり連立方程式ができますので、これをとけばs,t,kが定まりますね。
以上でいかがでしょうか。
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