体重70kgの2人のスケート選手が, どちらも速さ 6.5msで反対向きに平行にすべっている。 進路

体重70kgの2人のスケート選手が, どちらも速さ 6.5msで反対向きに平行にすべっている。 進路の間隔は10m である. 最も接近したとき 進路に垂直に張り渡してあった長さ10mの綱を同時につかんだ.

(i) 綱の中心点に関する各人の角運動量はどれだけか。

(ii) 綱をたぐって間隔を5mに縮めた。 各人の速さはどれだけになるか.

(iii) ちょうどこのとき綱が切れた。 綱はどれだけの力にたえるものであったか.

(iv) 綱が2人に対してした仕事と、 2人の運動エネルギーの増加とを計算し、値を比べてみよ.

(iv)が分かりません。解説お願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/18 00:56

＞どちらも速さ 6.5msで

速さは 6.5m/s ですね？

(i) 綱の中心を軸に回転することになるので、その角運動量は
　r × mv = 5 [m] × 70 [kg] × 6.5 [m/s] = 2275 [N･m･s]

(ii) 角運動量はそのままで、r=2.5 [m] にすることになるので、そのときの周速度を v [m/s] とすれば
　2.5 [m] × 70 [kg] × v [m/s] = 2275 [N･m･s]
より
　v = 13 [m/s]

(iii) そのときの遠心力は
　F = mv^2 /r = 70 [kg] × {13 [m/s]}^2 / 2.5 [m]
　 = 4732 [N]

(iv) 「仕事」とは「力 × 移動距離」ですが、この場合には力は一定ではありません。
半径が r のときの遠心力は
　F(r) = mv^2 /r　　　①
で、角運動量は
　L = rmv
なので
　v = L/rm
として①に代入すれば
　F(r) = m(L/rm)^2 /r = (L^2 /m)/r^3

従って、綱にかかる遠心力の合計はその2倍で
　T(r) = 2F(r) = 2(L^2 /m)/r^3
これを遠心力に逆らって、綱が人を微小距離 dr だけ動かすための仕事は
　dW = -T(r)dr
従って、r:5[m] → 2.5[m] にするための仕事は
　W = ∫[5→2.5]{-T(r)}dr = -2(L^2 /m)∫[5→2.5](1/r^3)dr
　　= -2(L^2 /m)[-(1/2)/r^2][5→2.5]
　　= (L^2 /m)[1/2.5^2 - 1/5^2]
　　= (3/25)(L^2 /m)

L=2275, m=70 を代入すれば
　W = 8872.5 [J]

一方、、質点の運動エネルギーは
　(1/2)mv^2
なので、この2個分は
　E = mv^2

r = 5 [m] のとき、v = 6.5 [m/s] なので
　E1 = 70 [kg] × {6.5 [m/s])^2 = 2957.5

r = 2.5 [m] のとき、v = 13 [m/s] なので
　E2 = 70 [kg] × (13 [m/s]}^2 = 11830

その差は
　E2 - E1 = 8872.5 [J]

一致しましたね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。とてもわかり易く、よく理解できました。

質問なのですが、(iv)で、
W=∫[10→5](-F(r)) dr
と表すことは可能でしょうか。

回答よろしくお願い致します。

お礼日時：2022/11/18 09:09

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/11/18 11:21

(ii)で速さは角運動量保存則から倍、エネルギーで4倍になるから

エネルギー保存則から綱のした仕事は元の運動エネルギーの3倍。
つまり
(1/2) × 70 kg × (6.5 m/s)^2 × 2個 × 3倍 = 8872.5 J

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/18 10:12

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞(iv)で、
W=∫[10→5](-F(r)) dr
と表すことは可能でしょうか。

それは
「r をスケーター間の距離とする」
という定義かと思いますが、そのときの「綱が及ぼす力：F(r)」をどのように定義されますか？
#1 で定義した F(r) とは異なったものになります。

物理的にキチンと説明できる論理展開になっていれば可能と思いますが、私には思いつきません。

この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2022/11/18 19:06