この写真は、 「28の倍数で、正の約数の個数が15個である自然数nを全て求めよ」という問題の解説なの

この写真は、
「28の倍数で、正の約数の個数が15個である自然数nを全て求めよ」という問題の解説なのですが、何度読んでも理解できません。
もっと噛み砕いた説明、やり方をご教授ください。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/02 19:50

p,qを異なる素数とすると

p^14
の約数は
1,p,p^2,p^3,p^4,p^5,p^6,p^7,p^8,p^9,p^10,p^11,p^12,p^13,p^14
の
14+1=15個

p^2q^4
の約数は
1,q,q^2,q^3,q^4
p,pq,pq^2,pq^3,pq^4
p^2,p^2q,p^2q^2,p^2q^3,p^2q^4
の
(2+1)(4+1)=15個
だから

正の約数の個数が15個の場合は
素因数は2種類以下で
3種類以上になることはない…(1)

nは28の倍数であり
n=28=(2^2)7
だから
nの素因数には2,7が必ずあるから2種類以上あるけれども
(1)から3種類以上になることはないから
nの素因数は2と7だけである

p=2,q=7の場合p^2q^4=2^2・7^4
p=7,q=2の場合p^2q^4=7^2・2^4

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/12/02 19:23

約数の個数が15と言ってるから(a+1)(b+1)=15

15=3×5だから、上を満たすa,bはa=2、b=4
又はa=4、b=2
(写真の指針に書いて有るとおり）

このa,bは素因数分解した時の指数の事。

28を素因数分解すると、素因数は2と7。
a=2、b=4ならば、2²×7⁴
a=4、b=2ならば、2⁴×7²

2²×7⁴は9604
2⁴×7²は784