微分方程式 y'=(y-x)/x はどう解いたらいいのか教えて欲しいです。

微分方程式
y'=(y-x)/x
はどう解いたらいいのか教えて欲しいです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/13 09:29

微分方程式は、解が数式で書けるもののほうが少ないから、

解けるパターンを覚えておくとよいこともある。

dy/dx = f(y/x) という形の方程式は、
u = y/x と置くと
(du/dx)x + u = f(u) と変形できるので、
∫dx/x = ∫du/{ f(u) - u } と変数分離できる。

何か名前がついてたな。「一階同次形」だったか...

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/13 05:55

続きを忘れた。

uを戻して
　y/x=-log|x|+C → y=-xlog|x|+Cx

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/13 05:40

y=ux とおくと

　y'=u'x+u
元の式に入れて
　u'x+u=u-1 → u'=-1/x
積分して
　u=-log|x|+C