微分方程式 y'=(x-y)/x はどう解いたらいいのか教えて欲しいです。

微分方程式
y'=(x-y)/x
はどう解いたらいいのか教えて欲しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/13 05:53

y=ux とおくと

　y'=u'x+u
元の式に入れて
　u'x+u=1-u → u'x=1-2u・・・・①
→ du/(2u-1)=-dx/x・・・・・②
積分して
　(1/2)log|2u-1|=-log|x|+C
→ log|2u-1|=-2log|x|+2C
→ log(|2u-1|x²)=2C
→ (2u-1)x²=±e^(2C)=B・・・・③
→ 2y/x-1=B/x²
→ 2y=x+B/x
→ y=x/2+A/x (A=B/2)

ここで、注意は②は 2u-1≠0の時成り立つが、2u-1=0
のときも①の解である(特異解)。

なお、③で正確には B≠0 であるが、上の特異解 u=1/2
をいれると B=0 も可となる。したがって、Bを任意とし
て一般解に含める。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/02/13 10:48