数学3(定数分離)の別解について(問題)aを定数とするとき、方程式 ae^{-(x^2/4)=

数学3(定数分離)の別解について

(問題)
aを定数とするとき、方程式 ae^{-(x^2/4)=x-3 の異なる実数解の個数を求めよ。

なのですが、もちろんa=(x-3)e^(x^2/4)と定数分離してグラフを描くのが最も簡単な方法だと思うのですが、
y=ae^{-(x^2/4)
y=x-3
と分けて、この2関数の交点を求める、という考え方でも解けないことはないのでしょうか。(かなり場合分けが増えるのはわかるのですが…)
わざわざ複雑なとき方をする必要はないのですが、気になりました。

No.1 ベストアンサー 回答者： jumbo622 回答日時： 2016/01/19 03:44

必要ない、なんてことはないですよ！

(関数)=(1次式)×未知数
の交点について考えるというのは常套手段で、場合によっては、このほうが簡単に解けることも、この方法でしか解けないこともあります。
ですので、どちらも覚えておいたほうがいいと思います。
文系の人は(2次式)=(1次式)×未知数、という問題はこの方法でしか解けないですし･･･(商の微分ができないので)

さて、解き方ですが、1次式の傾きと通る定点に注目します。
aが1次式の側にないと確かに大変なので、a=0(解1つ)の場合を除き、
y=e^(-((x^2)/4))
y=(1/a)(x-3)
の交点について考えます。

y=e^(-((x^2)/4))についてグラフを書きます。x=0で極大となり、y軸対称、±∞では0に収束します。
y=(1/a)(x-3)は直線で、定点(3,0)を通ります。傾きは1/aであらゆる値を取りうります。

ここで(t,e^(-((t^2)/4)))で接する場合を考えます。まず、傾きについてy’=-(t/2)e^(-((t^2)/4))=1/a･･･①
接線の方程式をたて、それが定点(0,3)を通るのでx=0,y=3を代入して整理するとt=1,2という解がでます。
1/a=-(1/2)e^(-1/4),-e^(-1)
のときグラフの右側と接し、左側と交わるのでので解ふたつ。
1/aがその間の時は左側と1点で交わり、右側と2点で交わるので解みっつ。
それ以外は解ひとつです。
これを1/aを戻して、a=0を加えて、整理すると答えです。

今回の場合は気にしなくても
いいですが、定義域などがある場合は端の点を通る時もチェックしないといけません。

いかがでしょうか。交点の数などは、グラフを見て考えたりするので多少むつかしいかもしれません。不安なら実際に確かめてみるのもありです。
経験が大事なので、似たような問題を(できればこの解法が生きるような問題を)探して、何問か解いてみるといいでしょう。おそらく文系のほえがこの解法を使うことは多いので、文系問題をチェックしてもいいかもしれません。

この回答へのお礼

ご丁寧な回答を、ありがとうございます。

定点通過を使えばaにおける場合分けが少なくて済むのですね！
まともに場合分けするとaの正負でかなりの場合分け数になってしまったので、困惑しているところでした。
なるべく字数の大きい項には係数が来ないようにする工夫が必要ですね。

数学2Bの微分の問題や図形と方程式の分野で線形を使って考えられる問題が載っていたので、そちらで演習しておきます。
とても参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/19 10:42