整数問題 18 海外の数学オリンピック

本題

(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=2

まず、左辺の展開は、やってみないと分からないけど。

ないとおもう
与えられた条件式をどの様に変形するか

ただそれだけの問題だとおもうのだけど

難儀です

識者の方のアプローチも教えて下さい

以下問題

---------------------------------------------------

質問者からの補足コメント

• 

  本題
  
  >endlessriver さんのようなsimpleさはないが、以下のように考えた
  
  試行錯誤はあったが、c １文字で不等式を表すことに気付けば
  
  c の３次関数であった
  
  そこから、c の範囲を絞る事は、容易で、関数値で絞り込めた事は満足している
  
  c=1,2,3 の後の処理は、endlessriverさんとは異なるが、これは好みの問題だ
  
  以下、私の答案です
  
  
  -----------------------------------------------------------

  
    補足日時：2023/05/25 15:21

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/25 14:40

(1+1/a)(1+1/b)=2/(1+1/c)>1 → c>1 → c≧2

となって、c=1 はずせました。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/25 14:33

(1+1/c)³>2 → c<1/(2¹/³-1)≒3.8 → c≦3

1. c=1のとき
　(1+1/a)(1+1/b)2=2 → (1+1/a)²<1
なので矛盾。つまり c=1　はない。

2. c=2のとき
　(1+1/a)(1+1/b)(3/2)=2 → (1+1/a)(1+1/b)=4/3・・・①
→ 1+1/a=(4/3)/(1+1/b)>1 → b>3 → b≧4
また①から
　(1+1/b)²<4/3 → b<1/(√(4/3)-1)≒6.4 → b≦6
したがって
　4≦b≦6
と①を使うと

　b=4 → 1+1/a=(4/3)/(5/4)=16/15 → a=15
　b=5 → 1+1/a=(4/3)/(6/5)=20/18 → a=9
　b=6 → 1+1/a=(4/3)/(7/6)=24/21 → a=7

3. c=3のとき
　(1+1/a)(1+1/b)(4/3)=2 → (1+1/a)(1+1/b)=3/2・・・②
→ 1+1/a=(3/2)/(1+1/b)>1 → b>2 → b≧3
また②から
　(1+1/b)²<3/2 → b<1/(√(3/2)-1)≒4.4 → b≦4
したがって
　3≦b≦4
と②を使うと

　b=3 → 1+1/a=(3/2)/(4/3)=9/8 → a=8
　b=4 → 1+1/a=(3/2)/(5/4)=12/10 → a=5


4. まとめると
　(a,b,c)=(15,4,2), (9,5,2), (7,6,2)
　　　　　(8,3,3), (5,4,3)