単純環

Ｒを単純環で1を持つとします。Ｒの中心をＣ、Ｃの0でないイデアルをＴとします。Ｃ＝Ｔを示して下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/18 10:14

Rを単純環

1∈R
Rの中心をC
Tを0でないCのイデアル
とする
0≠t∈Tとなるtがある
Rt={xt|x∈R}
とすると

x∈R
y∈R
に対して
xt-yt=(x-y)t∈Rt
だから
RtはRの加法部分群

y∈R
に対して
x(yt)=(xy)t∈Rt
(xt)y=(xy)t∈Rt
だから
RtはRの両側イデアル
0≠t=1t∈Rtだから
RtはRの0でない両側イデアル
Rの両側イデアルが0とRしか存在しないとき
Rを単純環というのだから
Rt=R
1∈R=Rt
1∈Rt
だから
1=t^(-1)t
となるt^(-1)∈Rが存在する

t∈T⊂C
だから
x∈R
に対して
xt=tx
t^(-1)xtt^(-1)=t^(-1)txt^(-1)
t^(-1)x=xt^(-1)
だから
t^(-1)∈C
TはCのイデアルだから
1=t^(-1)t∈T

T⊂C
任意の
x∈C
に対して
1∈T
x=x1∈T
だから
C⊂T
↓これとT⊂Cから
∴
C=T

この回答へのお礼

解りました

お礼日時：2023/06/18 13:42