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No.2
- 回答日時:
ふつうに展開して、計算して、整理し直せばよいだけです。
何も特別なことはしてません。
(1)
S = -1 - 2・2[2^(n - 1) - 1]/(2 - 1) + (2n - 1)・2^n
= -1 - 4[2^(n - 1) - 1] + n・2^(n + 1) - 2^n
= -1 - 2^(n + 1) + 4 + n・2^(n + 1) - 2^n
= (n - 1)・2^(n + 1) - 2^n + 3
= (2n - 2)・2^n - 2^n + 3 ←2^n にそろえた
= (2n - 3)・2^n + 3
(2)
1 + 3[x + x^2 + ・・・ + x^(n - 1)] - (3n - 2)x^n
第2項の [ ] 内は、「初項 x, 公比 x, 項数 n - 1」の等比数列の和なので
x[1 - x^(n - 1)]/(1 - x)
= (x - x^n)/(1 - x)
よって
与式 = 1 + 3(x - x^n)/(1 - x) - (3n - 2)x^n
全体を (1 - x) で通分して
= {(1 - x) + 3(x - x^n) - (1 - x)(3n - 2)x^n}/(1 - x)
= {1 - x + 3x - 3x^n - (3n - 2)x^n + (3n - 2)x^(n + 1)}/(1 - x)
= {1 + 2x - (3n + 1)x^n + (3n - 2)x^(n + 1)}/(1 - x)x^n - 3x^n
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