僕の理解力がないため、何度も質問すみません。 逆関数についてですが、なぜy=2xの逆関数はx=2yと

僕の理解力がないため、何度も質問すみません。
逆関数についてですが、なぜy=2xの逆関数はx=2yとなるのですか？x=2yを整理したらy=(1/2)xになるというのはわかるのですが、x=2yがy=2xの逆関数ということが腑に落ちません。「xとyの文字を交換する=元の関数の逆関数になる」ということがわからないです。またy=2xを(1,2)が満たすとき、x=2yにはそれぞれ1と2のどちらがはいりますか？(理由もあれば幸いです。)

当たり前なことでつまづくようなところではないと思うのですが、解説おねがいします。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。わかりかけてきたので、もう一度投稿します。

    補足日時：2023/08/25 20:32

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/25 19:07

x=2yのxに2,4,6,8を代入すればy=1,2,3,4

y=2xのxに1,2,3,4を代入すればy=2,4,6,8

上下の式で、xとyの関係が真逆になってるだろ？

この回答へのお礼

逆関数というのは、出力と入力の関係式を逆にしたものということですか？だから、y=2xというのは、xに1,2,3,4…という値を入力した際に出力される値は2,4,6,8であるということを表していて、x=2yというのはy=2xの出力と入力を入れ替えたもの(だからxとyが入れ替わってる)よってy=2xで出力されたy=2,4,6,8というのをx=2yのxに入力すると、y=1,2,3,4という値が出力されるということですか？
またこのことから一つ思ったのですが、y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。x=2yはy=2xの逆関数ではない、すなわちx=f(y)はy=f(x)の逆関数ではないのでは？と思いました。しかし、y=f(x)とx=f(y)が同じ関数であるとすると、x=f(y)を整理したy=g(x)とy=f(x)も同じ関数になり、矛盾する気がします。

お礼日時：2023/08/25 19:28

No.1 回答者： cage64 回答日時： 2023/08/25 18:39

理解できないうちに、いろいろな考え方を消化しようとして消化不良になっているようです。

基本から復習してください。

そもそも、関数とは何か。
1に対して2
2に対して4
3に対して6
...
などという1つの数が決まるともう１つの数がただ１つ決まる数の関係を関数といいます。
関数に名前がないと不便なのでfとかと書きます。そして、通常、最初に決める数の方をx, それに対応して決まる数のことをf(x)と書きます。
xをいろいろ動かすとf(x)もいろいろ動きますので、そのようなペアを xをx軸、f(x)の方をy軸とみて、xy平面にプロットしたものを y=f(x)のグラフといいます。

上の例でいえば、f(1)=2, f(2)=4, f(3)=6, なので、xに対してはf(x)=2x であり、このグラフはxy平面上で (1,2),(2,4),(3,6)... （本当は(0.1,0.2)など無限にありますが）を結んだものです。

逆関数とは、この逆の対応のことです。つまり、上の例なら、
2に対して1
4に対して2
6に対して3
...
を対応させる関数です（2の半分が1, 4の半分が2,...となってますね）

この逆関数のグラフは、(2,1),(4,2),(6,3),... を結べばいいわけです。

ここで、よく考えると、(2,1),(4,2),(6,3)というのは、最初の関数fを使って書けば(f(1),1),(f(2),2),(f(3),3) となっています。
逆関数をgとかけば、対応関係は(1,g(1)),(2,g(2)),... ですから、たとえば、g(2)は、2=f(a)となるようなaは、2=f(1)だったからa=1で、g(2)=1 となるわけです（上の対応関係をみれば、g(2)=1と書いてありますね）。
一般に(x,g(x))であれば、x=f(a)となるようなaを使って、 g(x)=a となるわけです。

ここまでよければ、y=f(x)の逆関数は xに対して、x=f(*)となる*を使って、g(x)=* とかけるわけで、関数f(x)を y=f(x)と書いていたのであれば、x=f(y)となるyを使って g(x)=y と書ける、となるわけです。

ここまで理解できれば、他の疑問も解決するのではないでしょうか。

なお、関数となるためには、1つの数に対して１つの数しか対応しないといけないので、逆関数がきちんと定義できるためには、元の関数fは（その定義域で）同じ値をとってはいけません。
つまり、3に対して6、4に対しても6 つまり、f(3)=f(4)=6 とかになると、逆関数を定義する時6に対しては 3と4の2つが対応、となって関数になりません。