ほんとに何度もすみません。 どうか相手にしてください。 逆関数というのは、「出力と入力の関係式を逆に

ほんとに何度もすみません。
どうか相手にしてください。

逆関数というのは、「出力と入力の関係式を逆にしたものである」ということは定義ですか？(それとも逆関数に対してこの解釈は間違ってますか？)もし上記のことが正しいとすると、例えばy=2xについて考えたとき、この関数はxに1,2,3,4.という値を入力した際に出力される値は2,4,6.8であるということを表していて、x=2yというのはy=2xの出力と入力を入れ替えた
もの(だからxとyが入れ替わってる)よってy=2xで出力されたy=2,4,6,8というのをx=2yのxに入力すると、y=1,2,3,4という値が出力される」という解釈で良いでしょうか？
今書いてて、思ったことがあるのですが、y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。x=2yはy=2xの逆関数ではない、すなわち一般的にx=f(y)はy=f(x)の逆関数ではないのでは？と思いました。しかし、y=f(x)とx=f(y)が同じ関数であるとすると、x=f(y)を整理したy=g(x)はy=f(x)の逆関数になるはずなのに、y=f(x)⇔x=f(y)⇔y=g(x)からy=g(x)がy=f(x)同じものを表していることになり、矛盾する気がします。
(繰り返しになりますが、)おそらくy=f(x)とx=f(y)は同値ではないはずですが、先ほど(y=2xの例で)述べたように、y=f(x)がb=f(a)を満たすときx=f(y)もb=f(a)を満たすことから、y=f(x)とx=f(y)が同じものに見えてきてしまいます。なぜ、y=f(x)の逆関数はx=f(y)となるのでしょうか？
度重なる質問ですみません。解説おねがいします

質問者からの補足コメント

• 皆さん回答ありがとうございます。
  自分の中でだんだんと整理がてきてきたのですが、
  y=f(x)を(a,b)が満たすときすなわちb=f(a)となりこの出力と入力を入れ替えたx=f(y)もb=f(a)を満たしますが、この2つは同値ではないですか？ただ入力と出力が対な関係であるだけですか？

    補足日時：2023/08/28 14:56

• 皆さん回答ありがとうございます。たくさんの丁寧なご回答をせっかく、送ってくださったのに、僕の理解力がなく、この質問をうまく自分の中で消化することができませんでした。本当に申し訳ありません。しかし前よりはイメージというか、何となく掴めてきたので、また整理がついたらよりわからないところを具体的にして質問させていただこうと思います。

    補足日時：2023/08/29 18:08

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/25 20:52

> y=f(x)の逆関数はx=f(y)となる

ならないよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
x=f(y)というのは、何を表したものなのでしょうか？y=f(x)とも、y=g(x)とも関係ないものなのでしょうか？

お礼日時：2023/08/25 20:54

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/08/25 21:01

＞x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることから・・・

逆関数ですから 「x=2y の (y, x) には (b, a) が入る・・・」でしょ。
y=2x の逆関数は x=2y → y=(1/2)x です。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/25 21:39

数学は定義が出発点だから、先ずは関数の定義を簡単に。

関数
変数x、yがあり、xの値を決めるとyの値が「1個だけ」決まる時、yはxの関数と言い、y=f(x)で表す。
「1個だけ」と言うのが重要。

逆関数
y=f(x)で，x=aの値に，y=bの値が対応するとき,その逆のx=bの値に，y=aの値が「1個だけ」対応する関数のこと
関数だから、「1個だけ」と言うのが重要。

>>y=f(x)の逆関数はx=f(y)
とは限らないわけ。yの値を決めるとxの値が「1個だけ」とは限らない。
例えば、y=x²の場合、x=y²とすると、xの値を決めるとyの値が「1個だけ」には成らない。±の2個出てきてしまう。
y=f(x)のyの値域に注意が必要。
∴y=√x (-√xは捨てる:y=x²の時yは0以上だから、そこは逆でも変わらない)

これに注意してx=f(y)のxyを入れ替えれば良いです。
入れ替えた時、xに対してyが「1個だけ」求まる事に細心の注意をして。

この回答へのお礼

x=f(y)という式は何を表している？y=f(x)とはどういう関係なのですか？

お礼日時：2023/08/25 22:50

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/25 22:49

No.1へのコメントについて。

> x=f(y)というのは、何を表したものなのでしょうか？

　これ単独では意味は定まりませんから、「ふうん？」とでも言うしかない。

　ま、ワケもわからずにパターンばかりいじくっていても混乱するばかりでしょう。「xとyを逆にする」だの何だのというお子様的ナンセンスは一度スッパリ忘れた方がいいですよ。
　コンポンから理解してしまえば簡単なことです。（以下、いささかハードだけど、頑張れ。）
----------------------------------------

[1] まずは「集合」という用語が（だいたいでも）お分かりだとする。で、
　　<x, y>
のように二つのモノを並べたペア、「順序対」というものを考える。
　順序対は並べる順番が違えば別物であることに注意。すなわち
　　x≠y のとき <x,y> ≠ <y,x>
である。順序対<x,y>のxを左成分、yを右成分と呼ぶことにします。

[2] 集合
　　n ={1,2,3}
と
　　c = {赤, 青, 緑, 黄}
について、その「直積集合」n×c とは、順序対を要素とする集合
　　n×c = {<x,y> | x∈n ∧ y∈c}
のことです（"∧"は and とか「かつ」という意味 ）。
　具体的にn×cの要素を書き出してみると
　　n×c = {<1,赤>, <1,青>, <1,緑>, <1,黄>, <2,赤>, <2,青>, <2,緑> , <2,黄>,<3,赤>, <3,青>, <3,緑>, <3,黄>}
です。

[3] 集合fが
　　(1) f ⊂ n×c
　　(2) ∀x(x∈n ⇒ ∃y(<x, y>∈f))
　　(3) ∀x∀y((<x, y>∈f ∧ <x, z>∈f) ⇒ y=z)
を全部満たすとき、
　　 f: n→c
と書いて、fを「(nからcへの)関数」と言う。そして、nのことを「定義域(domain)」と言う。
　(1)の条件は、fが n×cの部分集合である、すなわち「fのどの要素も、左成分がnの要素、右成分がcの要素である順序対だ」、ということです。
　(2)の条件は、「nのどの要素xについても、fには、xが左成分である要素が存在する」ということ。
　(3)の条件は、「どのx∈nも、xが左成分であるような順序対はfには一つしかない」ということ。

　例えば
　　 {<1,青>, <2,赤>, <3,緑>}
は({1,2,3}から{赤, 青, 緑, 黄}への)関数である。また
　　 {<1,赤>, <2,赤>, <3,青>}
も({1,2,3}から{赤, 青, 緑, 黄}への)関数である。しかし
　　{<1,赤>, <3,青>}
は(2)に違反するから関数ではないし、
　　{<1,赤>, <1,青>, <2,赤>, <3,青>}
も(3)に違反するから関数ではない。

[3] f: n→c であるとする。nのそれぞれの要素m について、(2)と(3)より<m,y>∈f であるy（y∈c)がただひとつ存在する。そのyを
　　f(m)
と書く。
　当然
　　∀m( m∈n ⇒ <m,f(m)>∈f )
ですね。

[4] f: n→c であるとする。nの部分集合 p (p⊂n) について、
　　q = { y | x∈p ∧ <x,y> ∈ f}
を「（fによる）pの像」と呼び、
　　f(p)
と書く。
　もちろん、p=nでも良いわけです。

---------------------
と、ここまでが「関数」の話です。
　しばしば、
　　f(x) = x² + 1
なんて書いて、これで関数が決まったつもりになっていたりする。が、それは誤りです。xが何の要素なのかを指定しなくては話にならない。例えば（実数全部の集合をR, 整数全部の集合をZと書くことにして）
　　f : R → R
なのか
　　f : Z → R
なのか、あるいはまた別なのか、ハッキリしろや、ってことです。
　そこで
　　f : R → R
だとしましょう。するとfははっきり決まって、
　　f = {<x,y> | x∈R ∧ y = x² + 1}
という集合である。これが(1)(2)(3)を満たすことを確認してください。

---------------------
さて次に、逆関数について説明すると：

[5] f: n→cであるとする。集合gが
　　(i) g = {<y,x> | <x,y>∈f}
　　(ii) g: f(n)→n
を両方満たすとき、gをfの逆関数と呼び、このgを f⁻¹ と書く。

　例えば
　　f: {1,2,3}→{赤, 青, 緑, 黄}
　　f = {<1,青>, <2,赤>, <3,緑>}
の場合、
　　f({1,2,3}) = {赤, 青, 緑}
なので、(i)を満たすgは
　　g: {赤, 青, 緑}→{1,2,3}
　　g = {<青, 1>, <赤,2>, <緑,3>}
である。そしてgは(1)(2)(3)を満たすから、(ii)を満たしている。なのでgはfの逆関数、すなわち
　　f⁻¹ = {<青, 1>, <赤,2>, <緑,3>}
である。

　一方、
　　f = {<1,赤>, <2,赤>, <3,青>}
の場合、(i)を満たすgは
　　g: {赤, 青}→{1,2,3}
　　g = {<赤,1>, <赤,2>, <青,3>}
である。gは(3)を満たさないから、(ii)を満たさない。なので、gはfの逆関数ではない。すなわち、fの逆関数は存在しない。

[6] では、どういうfなら逆関数が存在するかというと、（容易に証明できる通り）fがさらに
　　(4) ∀x∀y((<x, y>∈f ∧ <z, y>∈f) ⇒ y=z)
を満たす場合であり、その場合に限られる。

　言い換えれば、
　　(3) どのx∈nも、xが左成分であるような順序対はfには一つしかない
だけではなく、
　　(4) どのy∈cも、yが右成分であるような順序対はfには一つしかない
という性質を満たすことです。これを「1対1対応」と言う。

　例えば
　　f : R → R
　　f = {<x,y> | x∈R ∧ y∈R ∧ y = 2x + 1}
ならば、
　　f(R) = R
であり、そしてfはRとRの1対1対応になっている。だから逆関数が存在する。すなわち
　　f⁻¹: R→R
　　f⁻¹ = {<s,t> | t∈R ∧ s∈R ∧ s = 2t + 1}
　　　 = {<s,t> | t∈R ∧ s∈R ∧ t = (s - 1)/2}
これを
　　f⁻¹: R→R
　　f⁻¹(s) = (s - 1)/2
とだけ書いて済ませているわけで、つまりこれは略記法である。

　一方、
　　f : R → R
　　f = {<x,y> | x∈R ∧ y∈R ∧ y = x² + 1}
であるとき、
　　f(R) = { v | v∈R ∧ v≧1}
あり、fはRと{ v | v∈R ∧ v≧1}の1対1対応になっていない。だから逆関数が存在しない。

　でも定義域だけが違う
　　f : { u | u∈R ∧ u≦0} → R
　　f = {<x,y> | x∈ { u | u∈R ∧ u≦0} ∧ y∈R ∧ y = x² + 1}
という別の関数を考えると、
　　f({ u | u∈R ∧ u≦0}) = { v | v∈R ∧ v≧1}
であり、fは{ u | u∈R ∧ u≦0} と{ v | v∈R ∧ v≧1}の1対1対応になっていて、逆関数が存在し
　　f⁻¹: { v | v∈R ∧ v≧1}→{ u | u∈R ∧ u≦0}
　　f⁻¹ = {<s,t> | s∈{ v | v∈R ∧ v≧1} ∧ t∈{ u | u∈R ∧ u≦0} ∧ s = t² + 1}
　　　 = {<s,t> | s∈R ∧ s≧1 ∧ t∈R ∧ t≦0 ∧ s = t² + 1}
　　　 = {<s,t> | s∈R ∧ s≧1 ∧ t∈R ∧ t = -√(s-1) }
となる。これを
　　f⁻¹: { v | v∈R ∧ v≧1}→{ u | u∈R ∧ u≦0}
　　f⁻¹(s) = -√(s-1)
と略記して済ませる。

[7] さて、fの逆関数 f⁻¹ が存在するとき、 f⁻¹の逆関数(f⁻¹)⁻¹はどうなるか。ま、これは宿題にしましょうか。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　ともあれ、「ある関数fの逆関数」を考えるためには、まずその関数fの定義域をはっきりさせなくちゃどうにもならないわけです。

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/26 08:47

まず予備知識です。

「関数には入力変数と出力変数がある」
y=f(x) の場合、ｘが入力変数、ｙが出力変数
ですよね

で、質問への回答です
＞x=2yはy=2xの逆関数ではない、すなわち一般的にx=f(y)はy=f(x)の逆関数ではないのでは？と思いました。

そうです。x=f(y)だと
　ｙが入力変数、ｘが出力変数
ですので、関数としては（変数名を変えただけの）y=f(x)と同じ関数です。

逆関数にするにはx=f(y)を
　ｘが入力変数、ｙが出力変数
となるような y= g(x) のように式変形しないと駄目ということ

No.6 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/26 11:25

>>y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。

違うだろ？
チャント計算しろ！a=2bだぞ！

b=2aのbがyでaがxだ。それをそのまま使えば、x=2yだとa=2b

>>y=f(x)とx=f(y)が同じ関数であるとすると
同じじゃ無いよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。例えばy=2xの(a,b)を(1,2)とした時、x=2yにx=1,y=2を代入したら、1=2×2となってしまいませんか？

お礼日時：2023/08/26 11:34

No.7 回答者： kmee 回答日時： 2023/08/26 12:17

> 例えばy=2xの(a,b)を(1,2)とした時、x=2yにx=1,y=2を代入したら、1=2×2となってしまいませんか？

x=aのときy=bとなる関数の逆関数は、x=bのときy=aになる関数です。
f(x)上の点(a,b)=(1,2) に対応する逆関数の点は (b,a)=(2,1)です。

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/26 20:35

関数とは

何を何に対応させたかという事を明確にしなければいけません
y=2x
と書いただけでは関数とはいえません
xをy=2xに対応させる事を明確にするため

x→y=2x

と書かなければいけません

x=2y
と書いただけでは逆関数とはいえません

x→y=x/2

と書かなければいけません

No.9 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/27 08:05

Ｎｏ５です

＞ほんとに何度もすみません。
＞どうか相手にしてください。
ならば、えり好みせずに、すべての回答に対して何らかの応答をしたほうがよいですよ。

＞今書いてて、思ったことがあるのですが、y=2xが(a,b)を満たす時、b=2aとなると思いますが、x=2yの(x,y)には(b,a)が入ることからb=2aとなって、これは元のy=2xと同じであるように思えてきました。
→　関係と関数を混乱されているのかしら？

(a,b) は関係です。入出力はありません。
一方、関数には入力変数と出力変数があります

（一般に「関数」が定義できない「関係」も、たくさんありますが、今回の「y=2xという関係」は関数が適宜できる「関係」の一つです）

例えばx を 「y=2xという関係」を満たすyに対応させるのが「関数y=2x」で、
等式 「y=2x」 が関数であることを明確にするため、No8さんの回答の通り、
「x→y=2x」
と記載して、問題を整理すれば質問者さんの混乱もなくなると思いますよ。

で、今問題にしている「関数y=2x」の逆関数とは、
y を 「y=2xという関係」を満たすxに対応させる関数
の事です。

入力変数をｘ、出力変数をｙとして文字変換して書き直すと
x を 「x=2yという関係」を満たすyに対応させる関数
の事ですね。
文字変換した「x=2yという関係」は、与えられた初めの「y=2xという関係」の
「出力と入力の関係式を逆にしたものである」
になっていますよね。それだけの話ですよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
y=(1/2)xはy=2xの逆関数ですが、y=(1/2)xを整理する前のx=2yというのは、逆関数なのでしょうか？(何を表しているのでしようか？)

お礼日時：2023/08/27 13:58

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/27 13:28

前回の質問にも回答したが、そもそも

y=f(x) が関数だ...という発想が間違い。
(中学の教科書は、この間違いを誘導するように書かれているけど。)
関数なのは f であって、y=f(x) という式が関数なのではない。
この間違いをするから、y=f(x) の逆関数が y=g(x) って話になってしまうが、
正しくは「f の逆関数が g」でなくてはならない。

それが解っていれば、f の逆関数 g について
y=g(x) という式を作るのも
x=g(y) という式を作るのも
a=g(b) という式を作るのも全く自由だが、
g が f の逆関数であることを表現する論理式 y=f(x) ⇔ x=g(y) と
g が関数であることを y=g(x) と書くことが多いという慣習の間には
何の関係も無く、両者では文字 x,y の使い方が異なっている。
だから、x=g(y) と y=g(x) の式を同時に使うことには意味がない
...ということが解るはず。

この回答へのお礼

>論理式 y=f(x) ⇔ x=g(y) <
このx=g(y)というのは、x=f(y)の間違いでしょうか？

お礼日時：2023/08/27 18:07