写真の数学の問題において なぜ重解も極大値を持たない条件になるのですか？ ３次関数のとき重解が極大値

写真の数学の問題において

なぜ重解も極大値を持たない条件になるのですか？
３次関数のとき重解が極大値、極小値を持たない理由は解が一つで、大小関係が生まれないからですよね？
この問題の場合x=０は決まっているのでそれ以外のもう１つが求まれば、x=０と比較できると思うのです。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/04 13:26

あ、No.3 図をつけ忘れてた。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/04 10:37

図の通り

f(x)=x^4-8x^3+18x^2
の導関数
f'(x)=4x(x-3)^2=0
は
重解x=3を持つけれども

f(x)=x^4-8x^3+18x^2
は
極大値を持たない

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/03 14:47

係数が実数の 3次方程式の解は、

必ず 1つ以上の 実数解があります。
f(x) が3次式ならば、f'(x) は 2次式になります。
つまり f'(x)=0 が 重解を持つと云う事は、
接線の傾きが 0 のなる点が 1つしかないことになります。
グラフで考えれば 分かる通り その1つの点は 変曲点 になります。
（画像のグラフでは 上のグラフの 上の曲線に なります。）

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/03 13:36

写真の「指針」にも書いてあるように、

　　微分可能な関数 f(x) が x=p で極大値を持つ
　　⇔ x=p の前後で f’(x) の符号が正から負に変わる
です。

今回の問題の f(x) は、f’(x) が三次関数で、しかも
三次項の係数が 1 ですね。
三次の係数が正であるような三次関数が重根を持つ場合
のグラフを書いてみましょう。下図の②④のようになります。

f’(x)=0 の解 x を跨ぐとき、f’(x) の符号は、
重根>0 ならば 負→正→正,
重根<0 ならば 負→負→正 となって、
正→負 にはなりませんね。だから、極大値はありません。

ちなみに、
f’(x)=x(x^2-6x+9k) では x=0 は三重根にはなりませんが、
f’(x) が三次項の係数が正の三次関数で三重根を持つ場合にも
四次関数 f(x) は極大値を持ちません。
f’(x) の符号変化は 負→正 となって、
正→負 にはなる場所がありませんから。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/03 05:32

f'(x)が

3次係数正の3次関数で
f'(x)=0が重解を持つとき
f(x)は
極大値を持たないけれども、
極小値は持ちます

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/09/03 00:52

「３次関数のとき重解が極大値、極小値を持たない理由は解が一つで、大小関係が生まれないからですよね？」ってどういうこと? そもそも 3次関数の「重解」や「解」ってどういうもの? 「重解が極大値、極小値を持たない」とはどういう意味? 「解が 1つ」で「何の」大小関係が「生まれない」といっている?

「この問題の場合x=０は決まっているのでそれ以外のもう１つが求まれば、x=０と比較できると思うのです。」の「x=０は決まっている」とは「何が」決まっているといっていて, 「それ以外のもう１つ」は「もう1つ」の「何」を求めることをいっている?

数学よりも前に日本語の勉強しよっか.