場合の数、確率 51 確率漸化式

本題

a[0]=1
点 P が，(n+1) 秒後に頂点 A にいるのは，次の 2 つの場合がある。
[1] n 秒後に頂点 A にいて，次の 1 秒で頂点 A にとどまる。
[2] n 秒後に頂点 B,C,D のいずえかにいて，次の 1 秒で頂点 A に移動する。
a[n+1]=a[n]*(2/5)+(1-a[n])*3/5=-1/5*a[n]+3/5
a[n+1]-1/2=(-1/5)(a[n]-1/2)
よって a[n]=(-1/5)^n*(a[0]-1/2)+1/2=(1/2)*{1+(-1/5)^n

＃但し上の答案は間違っています。

以下問題

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https://imgur.com/a/hhTsYBA

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No.1 ベストアンサー 回答者： kgkrkgk 回答日時： 2023/09/06 20:31

[2]n秒後に頂点B,C,Dのいずれかにいて、次の1秒で頂点Aに移動する。

というのであれば、
(n+1秒後にAにいる確率)
＝(n秒後にBにいる確率)×(1/5)
＋(n秒後にCにいる確率)×(1/5)
＋(n秒後にDにいる確率)×(1/5)
＋(n秒後にAにいる確率)×(2/5)
となりませんか？
(n秒後にBにいる確率)＋(n秒後にCにいる確率)＋(n秒後にDにいる確率)
＝1－(n秒後にAにいる確率)
なので、
a[n+1]=a[n]*(2/5)+(1-a[n])*(1/5)
となると思います。

この回答へのお礼

お初です

返信ありがとうございます。

遅くなって申し訳ありません。

以下答案

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https://imgur.com/a/dN1gt0x

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from minamino

お礼日時：2023/09/17 15:03

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/09 22:23

正4面体ABCDの4つの頂点を移動する点Pがある

点Pがいずれの頂点にあるときも1ステップ後に
同じ頂点にとどまる確率は2/5であり,
他の頂点に移動する確率はいずれも1/5である
頂点Aから出発した点Pがnステップ後に頂点Aにある確率を
{a[n]}(n=0,1,2,…)
とする

a[0]=1
点 P が，(n+1) 秒後に頂点 A にいるのは，次の4つの場合がある。
[1]n秒後に頂点Aにいて,次の1秒で(確率2/5で)頂点Aにとどまる。
[2]n秒後に頂点Bにいて,次の1秒で(確率1/5で)頂点Aに移動する。
[3]n秒後に頂点Cにいて,次の1秒で(確率1/5で)頂点Aに移動する。
[4]n秒後に頂点Dにいて,次の1秒で(確率1/5で)頂点Aに移動する。
a[n]+B[n]+C[n]+D[n]=1

a[n+1]
=a[n]*(2/5)+B[n]*(1/5)+C[n]*(1/5)+D[n]*(1/5)
=a[n]*(2/5)+(B[n]+C[n]+D[n])*(1/5)
=a[n]*(2/5)+(1-a[n])*(1/5)
=(1/5)*a[n]+1/5

a[n+1]-1/4=(1/5)(a[n]-1/4)

A[n]=a[n]-1/4とすると

A[0]=a[0]-1/4=1-1/4=3/4
A[n+1]=(1/5)A[n]
A[n]=3/(4*5^n)
a[n]-1/4=3/(4*5^n)
∴
a[n]=(1/4)(1+3/5^n)

この回答へのお礼

教授

お久しぶりです。

ご回答ありがとうございました

以下答案
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返信ありがとうございます。

遅くなって申し訳ありません。

以下答案

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https://imgur.com/a/dN1gt0x

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from minamino

お礼日時：2023/09/17 15:06