表を使った1次不定方程式がわかりません

学校で表を使い1次不定方程式を習ったのですが、③〜⑤のxとyがなぜがなぜ求まるのかが分かりません。よければ回答お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/01/31 22:22

一番右にある計算をしているだけ. 実はユークリッドの互除法.

この回答へのお礼

ありがとうございます。おかげさまで理解できました

お礼日時：2024/01/31 22:58

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/01 11:24

右上に書いてある

　17x - 14y = 1　　　(a)
を満たす (x, y) を求めるということですか？
だとすると答が違っています。

ユークリッドの互除法より
17 = 14 × 1 + 3　　(b)　　　← 大きい方の 17 を 14 で割って余りを出す
14 = 3 × 4 + 2　　(c)　　← 14 を余り 3 で割って余りを出す
3 = 2 × 1 + 1　　(d)　　　　← 3 を余り 2 で割って余りを出す

各々の余りは
　3 = 17 - 14　　　　(e)
　2 = 14 - 3 × 4　　　(f)
　1 = 3 - 2　　　　　(g)
と書ける。

これを逆に組み立てて行けば
1 = 3 - 2 = (17 - 14) - (14 - 3 × 4)
　= (17 - 14) - [14 - (17 - 14) × 4]
　= (17 - 14) - 14 + 4(17 - 14)
　= 5･17 - 6･14

以上より、与方程式 (a) を満たす (x, y) は
　(x, y) = (5, 6)

*****************************

画像の表に書かれているのは
　17x + 14y = 1　　　(h)
を解いている表ですか？
それであれば

ユークリッドの互除法より
17 = 14 × 1 + 3　　(b)　　　← 大きい方の 17 を 14 で割って余りを出す
14 = 3 × 4 + 2　　(c)　　← 14 を余り 3 で割って余りを出す
3 = 2 × 1 + 1　　(d)　　　　← 3 を余り 2 で割って余りを出す

(b) が表の①の「17x + 14y」で「x=1, y=0 の場合」に相当。
(c) が表の②の「17x + 14y」で「x=0, y=1 の場合」に相当。

各々の余りは
　3 = 17 - 14　　　　(e)
　2 = 14 - 3 × 4　　　(f)
　1 = 3 - 2　　　　　(g)
と書ける。

(e) が表の③の「17x - 14y」で「x=1, y=-1 の場合、つまり ① - ②」に相当。
(f) が表の④の「② - ③ × 4」に相当。
(g) が表の⑤の「③ - ④」に相当。

1 = 3 - 2 = (17 - 14) - (14 - 3 × 4)
　= (17 - 14) - [14 - (17 - 14) × 4]
　= (17 - 14) - 14 + 4(17 - 14)
　= 5･17 - 6･14

以上より、与方程式 (h) を満たす (x, y) は
　(x, y) = (5, -6)