級数の収束、発散の判定をお願いします

logを含むものです
コーシーの判定法を使うものだと思うのですが。うまくできなかったです。

Σ[n=1,∞]( (a^n)logn )
a>0
です。どなたかお教えください。


また、本題と関係ないのですがよく質問に答えて下さる方々本当にありがとうございます。お礼を言い忘れてしまうことが多いのでこの場で改めて言わせていただきました。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/05 14:07

その式をどうしろと？

極限の値を簡単な式で書け...ってのは、どうにも無理っぽい。
収束性を判定しろってことなら、ダランベールでもいけるよ。

lim[n→∞] ｜ (a^(n+1)) log(n+1)/( (a^n) log(n) ) ｜
= a lim[n→∞] log(n+1)/log(n)
= a lim[n→∞] log(n+1)’/log(n)’　；ロピタルの定理
= a lim[n→∞] (n+1)/n
= a・1.
ダランベールの判定法より、a < 1 のとき与式は収束し、
a > 1 のときは発散する。
a = 1 のときは...
与式 = Σ[n=1,∞] log(n).
lim[n→∞] log(n) ≠ 0 だから、発散するな。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/02/06 14:38

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/05 20:30

なお

1 < log n < n
であることを使っても収束・発散を判定できる.