連続を示す必要ありますか

f(x)=2x-1(x>=1), f(x)=x^2 (x<1)がx=1で微分可能であることを証明せよ。
と言う問題に対して、模範解答はまずx=1で連続であることを示したあとで、x=1で微分可能であることを示しています。
微分可能であることが示せたら、連続であることも示せるので、前半部分の連続であることを閉める必要はないと考えるんですが、この考え方で合ってますか。

質問者からの補足コメント

• 模範解答では、連続性から示している理由がわからないのですよね。
  何か深い意味があるんですかね
  
  すいません。お礼の所に書いてしまいました。ありがとうございます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/20 13:36

• ちなみに某○研の４ステですが、

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/20 14:26

• 定義に従って証明しています。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/05/20 15:03

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/20 13:42

確かに、連続性を示す必要はないですよね。

その筆者は、
f(x)=2x-1(x>1), f(x)=x^2 (x<1) という定義に
f(1)=1 を追加したら x=1 で微分可能になる
って話と、ごっちゃになってるんじゃないかなあ...

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/20 16:30

f(x)=2x-1(x≧1)

f(x)=x^2(x<1)

f(1)=2・1-1=1

右側微分係数をf'+(1)とすると

f'+(1)
=lim{h→+0}{f(1+h)-f(1)}/h
=lim{h→+0}{f(1+h)-1}/h
↓f(1+h)=2(1+h)-1=2+2h-1=2h+1　だから
=lim{h→+0}(2h+1-1)/h
=lim{h→+0}2h/h
=lim{h→+0}2
=2

左側微分係数をf'-(1)とすると
f'-(1)
=lim{h→-0}{f(1+h)-f(1)}/h
=lim{h→-0}{f(1+h)-1}/h
↓f(1+h)=(1+h)^2=1+2h+h^2　だから
=lim{h→-0}(1+2h+h^2-1)/h
=lim{h→-0}(2h+h^2)/h
=lim{h→-0}(2+h)
=2
=f'+(1)

だから
f(x)はx=1で微分可能
と書いてあれば
連続であることを示す必要はないです

No.4 回答者： cage64 回答日時： 2024/05/20 14:56

証明の仕方を見ないと何とも言えない。

微分係数の定義から証明しているなら連続性を言う必要はないが、
左側微分係数をx<1の時のf'(x)を利用してlim_[x→1-0] f'(x) として求めており、
これが同様に求めた右側微分係数と等しい、という証明なら連続性をいう必要がある。

例えば、f(x)=x^2 x<0, x^2+1 x≧0 はx=0 で不連続だが、上の意味では右側微分係数と左側微分係数が等しい。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/20 13:35

>>何か深い意味があるんですかね

テキストには間違いも多いです。
書いてる人がソー思いこんでいるのでしょう。

この回答へのお礼

なるほど、あるあるですね。ありがとうございます。

お礼日時：2024/05/20 13:39

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/05/20 13:24

その通りです。

微分可能なら連続です。
連続だからと言って微分可能とは言えません。
(y=∣x∣ は x=0で連続だが微分可能でない)

この回答へのお礼

模範解答では、連続性から示している理由がわからないのですよね。
何か深い意味があるんですかね

お礼日時：2024/05/20 13:33