http://media.dj.kit.ac.jp/kairoensyu04/LCRkairo. …
のような実験をしまして、
回路図
+---コイル---コンデンサ---抵抗----+
1 1
+----------(+電源-)--------------+
コイルの内部抵抗をr、コイルのインダクタンスをL
コンデンサの容量をC、抵抗値をR
電源電圧をV、各電圧を順にVL,VC,VRとしたとき
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/lc …
の最終結果の共鳴の鋭さQ=f_0/(f_2 - f_1) ---式(a) の式から
Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのようにして導かれるのでしょう?
また、このことのついて
参考書を見たところ、V=I*√[{wL-(1/wC)}^2+R^2]の
ルートの中の式の{wL-(1/wC)}^2 = R^2 ---式(b)の
式をwについて解き、符号について考えた後
大きいほうから小さいほうをひけば
(a)式の分母が出て
その分子はf_0=(2*3.14*√(LC))^(-1)から導かれるのが
わかったのですが、
なぜ(b)式のようにしていいのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
教科書も捨てて、だいぶ経つので申し訳ありませんが、下記のサイトの話のようだったと記憶しています。
こちらの方が分かり易いと思います。
すなわち、共振時の電流I0と一般の電流Iの比
I/I0=R/√{ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }
から、これが1/√2になる条件(電力の1/2を電流に換算して)を計算すると
R^2/{ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }=1/2
2R^2={ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }
故に、(b)の R^2=(ωL- 1/(ωC)^2 となる。
>Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのようにして導かれるのでしょう?
Q=w0・L/R と w0=1/√(LC)から求められますが(1/R+r)は何のことか不明です。rはLの抵抗分ですかね?
参考URL:http://www.f-kmr.com/resonace.htm
No.4
- 回答日時:
何を血迷ってるののでしょうw、最後の一節を削除します→「これはこの回路自体の電力消費とは別のことを言ってます。」
ここで、まとめて書かせていただきます。
どの内容も僕が欲していたものだったのですが、
後になればなるほど、内容がねられていたので
ポイントの配分をご覧のとおりにしました。
一人にポイントをつけれなくって申し訳ありません。
皆様ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
>> Q=f0/(f2-f1) ---(a)
から
Q=(√(L/C))(1/R+r)
はどのようにして導かれるのでしょう? <<
式(a)はQの近似式なので導きには使えません。本当の定義式を使います。
Q≡(ωoL)/R …(1)
ωo≡1/√(LC) …(2)
(2)を(1)に入れると簡単に出ます。r はたぶんコイルの内部抵抗ですね、直列に R に加わるということで。
>> (a)の分母は参考書を見たところ
|Z|=|V/I|=√[{wL-(1/wC)}^2+R^2]
のルートの中
{wL-(1/wC)}^2=R^2 ---(b)
をwについて解けば出るのですが、
なぜ(b)のようにしていいのでしょうか? <<
「していい」わけは、Δfが「 Zの式の 実部=虚部になる周波数」という定義だからです。
Z はもともと
Z = R+j{ωL-1/(ωC)} …(3)
でしょ?
これの「実部=虚部」を書けば
R = ωL-1/(ωC) …(4)
ですよね、(b)の左右の2乗を外せば同じですよね。(抵抗はR>0ですから。) これはωの2次式だから根の公式で解けて、ω>0より
ω/ωo = √{1+1/(4Q^2)}±1/(2Q) …(5)
すなわち周波数は2つある。
ここで
Q >> 1
の場合は、4Q^2 >> 1 ゆえ √内はほぼ1となり、
ω/ωo≒1±1/(2Q) …(6)
2つの差は
(ω高-ω低)/ωo≒{1+1/(2Q)}-{1-1/(2Q)}
= 1/Q
上下ひっくり返して
Q≒ωo/(ω高-ω低) …(7)
これが(a)式の正体です。参考までに。
で、
Z の実部=虚部が実際どう見えるか; 複素数平面で図にすると実部と虚部の長さが等しいのだから2等辺三角形で長さは √2倍。つまり共振時の長さ(実部だけ)より√2倍大きい。電流で言うと I=E/Z だから電流が 1/√2≒70% に減る周波数ですね。
( 余談です; たいへん紛らわしいですが 電力が電流の2乗だとして「電力が1/2になる周波数だ」とも よく言われます。これはこの回路自体の電力消費とは別のことを言ってます。 )
No.1
- 回答日時:
電磁気学 高橋著 裳華房
に書いてあったと思いますが,式(a)はQが大きい場合の近似式です.直列共振回路のインピーダンスは
Z=R+j(wL-1/(wC))
電力Pは
P=E^2/Z
なので,電力で3dBダウンのところは,
R=(wL-1/(wC))となるときである.この式を用いて計算をすると,
R=wL(1-1/(w^2LC))
R=wL(1-w0^2/w^2) (∵1/√(LC)=w0)
1=wL/R*(1-w0^2/w^2)
1=Q*w/w0*(1-w0^2/w^2) (∵Q=w0L/R)
1=Q*(w/w0-w0/w)
1=Q*((w^2-w0^2)/(w0w))
1=Q*((f^2-f0^2)/(f*f0)) (∵w=2πf,w0=2πf0)
1≒Q*2Δf*f0/(f0*(f0+Δf)) (∵f=f0+Δf ,Δf<<1)
∴1≒Q*Δf/f0
∴Q≒f0/Δf
となり,式(a)となります.
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