引張・圧縮

底面の直径がdで、高さがhの円錐の底面を上に、頂点をしたにして、底面の剛体天井に接着してつりさげたときの、この円錐の自重による伸びを求めたいのです。材料の縦弾性係数がＥ、単位体積重量をγとするんですけど、

このとき、σ=γｘ=Ｅε=P/A (P=荷重　A=断面積)
で、伸びλ=∫εdx=∫(P/Eπy2)dx　　(0≦y≦d/2)
となるところまではわかるのですが、荷重Ｐを与えられた定数で求めることができず、この計算であっているのかわかりません。どうしたら、いいでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： Teleskope 回答日時： 2006/01/13 18:47

　

　
　こういう問題は断面図とかを書きながら考えれば答が見えてきます。Yを式に書くのが肝でしょう。


底半径 = (d/2)
＿＿|＿＿
＼　 | 　／底から X の距離で切断して考えると、
　 ￣￣　　切断面の半径Y = 底半径－(斜面の傾き)X
　 ＿|＿
　 ＼|／　　こっちは、高さがh'= h-X
　　　|　　　底半径がY = 切断面の半径
　　　　　　の円錐ですね。

　円錐の体積は
　　体積 = (底面積×高さ)/■
　　質量 = それ×密度
　　重さ = それ×重力加速度
で、
この加重が任意 x の断面にかかってる、という図式です。
（ 体積の公式は、私は最終的にシンプソン公式だけ覚えてますね、これこの種の求積に万能ですから。）




>>　このとき、
σ=γｘ=Ｅε=P/A (P=荷重　A=断面積)で
伸びλ=∫εdx=∫(P/Eπy2)dx　　(0≦y≦d/2)
となるところまではわかるのですが <<

　これは教科書的な公式に代入しただけでしょうからOKです。　Eなどは定数なんだし、P も y も x の関数で書けたから、約分などをすると超簡単な積分の式に帰します。　この先まで答を与えてしまうのは 課題の場合は駄目（削除される）という決まりなので自力でどうぞ。その求めた解を補足欄に書いて「合ってますか？」というのはgoo!です、要は質問者が解く努力をした形跡が見られればOKです、今後の参考に。
　
　

No.1 回答者： Silicagel 回答日時： 2006/01/13 11:15

あってると思いますよ．

自重による伸びですからPもｘの関数になります．
点(面？)ｘでの力のつりあいを考えれば，その面にかかる荷重をｘの関数として求められるはずです．