以下の問題が解りません。
O(0,0)、A(1,0)、B(0,1)において、線分OA、OB上に
それぞれ動点P,Qを取り、△PQRが一辺1の正三角形になるように動点
Rを第一象限にとる。角OPQをθとする。
(1)PがOからAまで動くとき、Rの座標をθを用いて表せ。
答え(1/2cosθ+√3/2sinθ、√3/2cosθ+1/2sinθ)
(2)Rの描く曲線をCとする。Cが楕円の一部であることを示せ。
この問題の(2)が解りません。どなたか教えてください。ちなみに
ヒントのところに「Cが楕円なら、それは当然y=xについて対称に
なる。だから、±π/4回転すれば標準形になる」と書いてありました。
よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
標準形とは。
karuuさんがが今まで習ってきた図形の形をいう。円ならx^2+y^2=1…(1)、双曲線ならx^2-y^2=1…(2)で表される図形です。
では標準形ではないものはどういうものかというと、
x^2-xy+y^2=4…(3)のようにxyとかが中に入っている式が表す図形だ。
標準形に直すということは、(3)式の図形を今までにお勉強した、(1)、(2)式のような式に直すことなんだよ。この場合、図形は回転移動する。
さて、ずいぶん前にどっかで似たような質問があったような気がしたので探してくるまで待っててね!
ちなみに、「大学への数学 数学ショートプログラム」という本に図形の変換のテクニックが載っているので参照してね。
No.2
- 回答日時:
なかった。
ところで(2)がわからないみたいだけど、三角関数の合成というのはご存知?教科書ではsinの場合だけど当然cosの場合もあるやつ。あの公式は美しくないので私は覚えていないのだけど、加法定理の逆ををやっているだけなので簡単に理解できると思う。
あの公式は、部分積分法の公式と同様に覚えてはいけません。部分積分法の公式は積の微分公式の逆をやっているだけだからね。
ヒント
R(1/2cosθ+√3/2sinθ、√3/2cosθ+1/2sinθ)
でRxをcosで表し、Ryをsinで表す。位相(sinやcosの中身)は同じにすることに注意すること。
さて、出来たら回答を「お礼」に書くこと。
回答ありがとうございます。
質問内容に書けば良かったのですがそれはやってみました。
僕が最初に回答したとき、Rを変形して、R(cos(θ-60),sin(θ+60))
という形にしてcos^2θ+sin^2θ=1に代入するのかなと、思ったのですが
位相が同じにならずにどうしていいか解らなかったので、このやり方では
できないのかなと、思ったんです。この先どうしたらいいか解らないので、
もう少しヒントもらえませんか?よろしくお願いします。
No.3
- 回答日時:
まだ間に合うのでしょうか?間に合ってるといいのですが・・。
さて、(1)の答えは分かっているようなので省きます。答えが複素数で、
{ 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i
と出てきますよね。
次に、(2)ですが、だいたいの図を書いてみると、確かにヒントにあるようにCが楕円になるのならそれは y=x に関して対称になることが予測できます。したがって、上で求めたRの座標からそのままRの軌跡を求めると、おそらく学習していない斜めになった楕円を表す式が出てきてしまうでしょう。そこで、ヒントの通り、π/4 (45度)回転させましょう。イメージとしては、問題の点A、Bをそれぞれ A(1/√2, 1/√2)、B(-1/√2, 1/√2) として同じ問題を考えるような感じです。この図を一度書いてみると、雰囲気がつかみやすいかもしれません。これでどうやら標準形の楕円の式、つまり x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 という式が導けそうです。(もっともここでは楕円の中心が原点である保証はないですが、それはおいおい計算していくと分かってくるはずです)
では、実際に計算してみましょう。
まず、45度の回転です。(1)で求めたRを原点を中心に45度回転させましょう。Rを45度回転させた展をR'とすると、R'を表わす複素数は、
{sin(π/4) + i cos(π/4)} * { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i
= {√2 / 2 + (√2 / 2) i } * { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i
= ・・・計算してください・・・
= 1/4 (√6 - √2)(sinθ - cosθ) + 1/4 (√6 + √2)(sinθ + cosθ) i
となるはずです。
したがって、この点R'をR'(x, y)とおくと、
x = 1/4 (√6 - √2)(sinθ - cosθ)
y = 1/4 (√6 + √2)(sinθ + cosθ)
となります。ここから、媒介変数であるθを消しにかかります。
x^2 = {1/4 (√6 - √2)}^2 (sinθ - cosθ)^2 より
[ x^2 / {1/4 (√6 - √2)}^2 ] * 1/2 = x^2 / {1/8 (√6 - √2)^2} = (sinθ - cosθ)^2 / 2 となり、
y^2 = {1/4 (√6 + √2)}^2 (sinθ + cosθ)^2 より
[ y^2 / {1/4 (√6 + √2)}^2 ] * 1/2 = y^2 / {1/8 (√6 + √2)^2} = (sinθ + cosθ)^2 / 2 となります。
したがって、
x^2 / {1/8 (√6 - √2)^2} + y^2 / {1/8 (√6 + √2)^2}
= (sinθ - cosθ)^2 / 2 + (sinθ + cosθ)^2 / 2
= ・・・計算してください・・・
= 1
となるので、めでたくR'の軌跡は楕円(の一部)を表すことが分かりました。
45度回転させた軌跡が楕円を描くので、当然もとの軌跡も楕円を描くはずです。
もしかしたら計算ミスなどあるかもしれません。あと、分数の複雑な式を一行にまとめるのに慣れていないので、[ ] まで持ち出してしまい、見にくいとこなどありますが、なんとか読み取って下さいね。
また分からないところがありましたら、聞いてください。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
間違いを発見したので補足を・・・。
45度回転する際の計算で括弧が抜けてました。
正しくは、
{sin(π/4) + i cos(π/4)} * [ { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i ]
= {√2 / 2 + (√2 / 2) i } * [ { 1/2 cosθ + √(3/2) sinθ } + { √(3/2) cosθ + 1/2 sinθ } i ]
= ・・・計算してください・・・
= 1/4 (√6 - √2)(sinθ - cosθ) + 1/4 (√6 + √2)(sinθ + cosθ) i
です。
No.5
- 回答日時:
おおっやっと一通り出してくれる人が出たか。
検算するから明日の夜まで閉じないでね。ところで、もしヒントなしで解答しろと言われたらどうする?
<解>
Rx=1/2cosθ+√3/2sinθ=f(θ)、Ry=√3/2cosθ+1/2sinθ=g(θ)
より、f(π/2-θ)=g(θ)…(1)が成立する。
題意より、0≦θ≦π/2 の範囲でθが動くので、
グラフはy=xについて対称である。 (割りと簡単だった。)
さて、やるか。
点(x,y)を原点を中心にしてπ/4平行移動させた点を(X,Y)とする。
X+Yi={cos(π/4) + isin(π/4)}(x+yi)
=(1+i)(x+yi)/√2
=(x-y)/√2+(x+y)i/√2
よって、複素数の相等条件(2つの複素数が相等しい条件)より、
X=(x-y)/√2 , Y=(x+y)/√2 である。
ああっもう駄目。お肌が荒れはじめてる。明日続きをやる。でもなんかもう合ってそうだけどね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 極座標A(2,π/6)となる点を通り、OAに垂直な直線lの曲方程式を求めよ という問題を直交座標を利 1 2022/08/04 17:31
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
- 物理学 物理 2 2023/01/17 13:31
- 数学 線形代数の行列についての問題がわからないです。 1 2022/07/18 17:46
- 中学校 中1数学 比例のグラフの座標の読み取り 4 2023/03/28 12:26
- 数学 写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せる 5 2023/01/26 00:36
- 数学 ベクトル方程式(ヘッセの標準形)についての質問 2 2022/04/23 18:00
- 高校 数3 面積 4 2022/05/11 12:37
- 数学 複素数についての質問です。 1+iの主値を求める問題で回答が以下のようになっていました。 1+i = 5 2022/07/22 04:04
- 数学 数学の三角比についての質問です。 (以前質問してくれ方ありがとうございまし た) 以前の回答何度もよ 4 2023/04/01 02:47
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
楕円の単位法線ベクトルがわか...
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
sin2xの微分について
-
3辺の比率が3:4:5である直...
-
e^iθの大きさ
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
画像のように、マイナスをsinの...
-
sinθ+cosθ=1/3のとき、次の式の...
-
ln(-1) オイラー方程式
-
∫sin^2x/cos^3xdxの解き方が...
-
三角関数 sinΘ=y 、 cosΘ=xの意味
-
答えがマイナスになる理由が分...
-
【高2数学】極限値
-
固有ベクトルについて
-
sinθ-√3cosθをrsin(θ+α)の形...
-
答えがわかりません
-
「1対2対√3」と「サイン,コ...
-
座標変換について
-
2階定係数線形非斉次微分方程...
-
極座標が(a,0)である点Aを...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^iθの大きさ
-
sin(ωt+θ) のラプラス変換
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
3辺の比率が3:4:5である直...
-
画像のように、マイナスをsinの...
-
教えてください!!
-
sin2xの微分について
-
三角比の問題
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
三角関数の問題
-
次の三角比を45°以下の角の三角...
-
急いでます! θが鈍角で、sinθ...
-
数学 2次曲線(楕円)の傾きの計...
-
二つの円の重なっている部分の面積
-
θが鈍角のとき、sinθ=4分の3の...
-
0°≦θ≦180°のとき、次の方程式、...
-
sinθ+cosθ=1/3のとき、次の式の...
-
三角形の二辺と面積から、残り...
-
アークサインの微分
-
三角関数
おすすめ情報