算数的な問題だと思うのですが、よろしくお願いします。

―問題―
6円切手と7円切手がたくさんあります。
A子さんはこの2種類の切手でいろいろな金額の代金を支払うことにしました。
ところが、何枚使ってもどうしても支払えない金額があることに気付きました。
それはどんな金額でしょうか、すべての場合をあげなさい。

どうしても支払えない金額と考え方をお願いします。

A 回答 (3件)

6円切手の枚数をx枚 7円切手の枚数をy枚とする


金額は 6x+7y 円となる
 y=0とすると金額は6x  円となり
  (6の倍数)の金額は払えます
 y=1とすると金額は6x+7円となり
  (6の倍数+1)の金額で払えないのは 1円です
 y=2とすると金額は6x+14円となり
  (6の倍数+2)の金額で払えないのは 2、 8円です
 y=3とすると金額は6x+21円となり
  (6の倍数+3)の金額で払えないのは 3、 9、15円です
 y=4とすると金額は6x+28円となり
  (6の倍数+4)の金額で払えないのは 4、10、16、22円です
 y=5とすると金額は6x+35円となり
  (6の倍数+5)の金額で払えないのは 5、11、17、23、29円です
このように考えてはどうでしょうか?
また、少なくとも一枚ずつ使うとするともっと面白くなりそうですね。
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この回答へのお礼

計算によってわかりやすく説明していただきありがとうございました。
とても助かりました。

お礼日時:2002/02/12 00:48

初等整数論で解けそうな問題ですが、私は知識がないので原始的にやってみます。


ymmasayanさんが書かれた
「6円をN枚と7円をN枚の間は(6円と7円の入れ替えで)必ず支払えます。」
はかなりのヒントです。

まず、
  6 ~   7  ・・・(1)
2×6 ~ 2×7  ・・・(2)
3×6 ~ 3×7  ・・・(3)
4×6 ~ 4×7  ・・・(4)
5×6 ~ 5×7  ・・・(5)
6×6 ~ 6×7
7×6 ~ 7×7
8×6 ~ 8×7
 ・     ・
 ・     ・
 ・     ・
を考えます。この範囲の金額は6円切手と7円切手で支払えるのです。
例として3×6~3×7の範囲を考えます。
3×6=18円はもちろん6円切手3枚でOK。
3×7=21円ももちろん7円切手3枚でOK。
その間の19,20円は6円切手3枚のうち、それぞれ1,2枚を7円切手に
入れ替えることで支払えます。他の範囲も同様です。

すると支払えない金額はこの範囲以外の中にあるはずです。
この範囲は一見無限にあるように見えますが、
式(5)以降は各範囲の間に空きがないか、もしくはオーバーラップしています。
つまり式(5)以降の無限個の式から、30円以降には支払えない金額はない
ことがわかります。

したがって29円までの「有限個」の金額で、式(1)から(4)以外の範囲の
金額について、一つ一つしらみつぶしに調べていけばいいわけです。

答えはymmasayanさんが書かれた通りです。

「しらみつぶしに」といっても、残った
1,2,3,4,5,8,9,10,11,15,16,17,22,23,29
がすべて支払えない金額ですから、判定方法というか、解法が他にもあるかも
しれませんが、思いつきません。
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この回答へのお礼

自分で数表を作ってこの説明を考えてみたらとてもわかりやすかったです。
どうもありがとうございます。

お礼日時:2002/02/12 00:50

まず、5円以下は無理ですね。

(5種類)
次に8円から11円までが無理ですね。(4種類)
その次は15円から17円がだめですね。(3種類)
次が22円と23円(2種類)
最後に29円(1種類)

合計15種類がだめです。正確な理論は別として、
6円をN枚と7円をN枚の間は(6円と7円の入れ替えで)必ず支払えます。
6円切手で払えない金額は6円刻みで5種類あります。きっての枚数が1枚増えるごとに払える幅が1種類づつ減っていきます。

従って、5+4+3+2+1=15種類と言う事でしょうね。
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