計算問題です。

a,b,cは連続する正の奇数で、a<b<c<とする。二次方程式　３Ｘ＾２ー２Ｘ（２a＋b＋４c）ー（４a＾２＋b＾２ー４c＾２＋４ac）＝０　の解が２つとも正の整数のとき、その２つの解を求めよ。

という問題なんですがどうしても解けません。誰か教えて下さい。

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2002/02/10 01:28

とりあえず、(a,b,c)=(2n-1,2n+1,2n+3)などとおいてそれを代入して、

係数がnの式だけのものは作ってみましたか？
話はそれからです。

No.2 回答者： sssohei 回答日時： 2002/02/10 01:50

(a,b,c)=(b-2,b,b+2) とした方が楽だと思います^^;＞解いてないですが

解が正の整数にならないといけないという条件で
判別式のルートが開ける、
解の公式の分数が約分出来る

とか色々出てくると思います。

それか、
x^2 - 2/3 (2a+b+4c) x - 1/3 (4a^2+b^2-4c^2+4ac) = 0
と変形して、解を正の整数α、βとすると、(x-α)(x-β) = 0より、
α+β = 2/3 (2a+b+4c)
αβ = -1/3 (4a^2+b^2-4c^2+4ac)
となります。

この辺を手がかりに解けると思うのですが

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2002/02/10 02:05

筋はお二人の言われるように，

係数を何か１つの文字で表して，
まず２正根の条件から n なり b なりの範囲が定まって，
そのうち整数解になるものが求めるもの，
ということなんですが，
ちょこちょこっとやってみたところどうも解がないみたいです．
もとの係数が結構面倒ですから，私が計算ミスしている可能性もありますが，
問題に間違いはないでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2002/02/10 02:12

といいながら、代入してみました。

しかし、計算がごつくてまったくあっている自信がないです。ごめんなさい。(^^;)

とりあえず、(a,b,c)=(2n-1,2n+1,2n+3)とすると、
3X^2 - 2(14n+11)X - (20n^2-44n-43) = 0
となりました。（あっているかチェックしてください）

ここで、問題の条件より、nは正の整数となります。

さて、実は私はこの問題は、「解なし」と思っています。というのも、
解が２つとも「正の」（整）数となるためには、少なくとも定数項が正でなくてはなりません。（解と係数の関係より明らか。中３生とのことですが、この問題を解くのだから、当然知ってますよね？）
つまり20n^2-44n-43<0であることが必要です。
ここで、n>=3のとき、上式の左辺は正となるので範囲からはずれてしまい、
nとして可能性のある数はn=1,2に絞られます。

整数問題では、未知数の値の範囲を絞ることが非常に重要で、ここまでくればあとはあてはめでもなんでも適当にやってもらえるとわかると思います。

で、あてはめてみると。。。解がないんです。（ここらも計算間違っているかもしれませんが^^;）

ところで、２次方程式の整数解問題はかぁなり難しくて、せいぜい文字係数が１次（Xの係数、定数項とも）の問題ならば、解と係数の関係を使って解けるのですが、本問のように定数項がnの２次式の場合、かなり面倒くさいです。
その中でも、もとの２次方程式の判別式を考えて（Xの係数がnの１次式の場合、nに関する２次式になります）その２乗の項が負の場合は、判別式が正であるという条件からnの範囲がある程度絞れるのですが、本問ではそれにも該当せず、判別式が正という条件でも値が絞れません。こうなるとたいがいお手上げです。

No.5 回答者： siegmund 回答日時： 2002/02/10 02:53

siegmund です．

> 3X^2 - 2(14n+11)X - (20n^2-44n-43) = 0
> となりました。（あっているかチェックしてください）
私も全く同じ結果です．

> 計算がごつくて...
本質と関係ないところで無用に複雑ですね．

２正根ですから
判別式 > 0
１次の係数 < 0　　(これは式からＯＫ)
定数項 > 0
ですが，判別式からは n>1 しか意味のある条件は出ません．
定数項の条件から kony0 さんの言われるとおり，n =1,2 が可能ですが，
どちらも整数解にはなりません．

No.3 の回答を書いたときには，こういう理由から
> 問題に間違いはないでしょうか？
と書きました．
結局，kony0 さんと同結論です．

この回答へのお礼

問題を確認してみましたが、間違いはないようです。友達にもらった問題なので、もう一度友達にも確認してみます。解き方はわかったので、あとは自分の力でやってみようと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2002/02/10 12:59