はがきはなぜ落ちない？

コップに適量の水を入れ、はがきでフタをして、逆さまにしても落ちないですよね。この理由を中学生の知識で理解させるにはどうすればよいでしょうか？
ある高校の入試問題の解答では、コップ内（はがきから水面までは５ｃｍ）の気圧が１％下がるためと解答があったようです。１％と限定してある点も理解に苦しみます。宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： jun1038 回答日時： 2002/02/10 13:26

こんにちは。

はがきの上下の圧力が同じため、つりあって水はこぼれません。

はがきの下面から上に向かって、大気の圧力が加わっています。
一方はがきの上面から下に向かって、コップの中の空気の圧力とコップの中の水の重さによる圧力が加わっています。水が、自らの重さでわずかに下に下がると、コップの中の空気は膨張し、薄くなる（圧力が低くなる）のです。その圧力の低下分と水の重さによる圧力とが同じになれば、最初の大気圧と同じ大きさになり、
はがきの上下の圧力がつりあって、水はこぼれません。

ただ、５ｃｍで、１％というのは、私には理解できません。ですから自信は一応「なし」にしておきますが。
大気圧はだいたい１ｃｍ＾２あたり１ｋｇ重程度です。
これは、高さ１０ｍの水の柱の底面の圧力とほぼ同じです。
ですから、５ｃｍというのは、０．５％ではないかと思うのですが。
他の回答者のご意見も聞きたいです。

適当な検索エンジンで、はがき　コップ　水　圧力　とキーワードを入れて検索をかけると、多くのｗｅｂページがヒットするようです。
検索して検討してみて下さい。

それでは。

この回答へのお礼

さっそくの回答ありがとうございました。私も0.5％なのではと思っていましたが、たぶんそうなんでしょう。
水が自重で下がり、空気が減圧するので、そのせいではがきが落ちないまではわかるのですが、結局ははがきが吸い寄せられて内部にたわんだ状態で静止する・・・。ということは、空気は膨張せずに圧縮されるのでは・・・。
検索した結果、水の表面張力も関係しているらしいのですが、中学生に説明するのはむずかしいですね。

お礼日時：2002/02/10 15:43

No.3 回答者： nuubou 回答日時： 2002/02/11 09:39

表面張力がなければはがきが少しでも下がればコップとはがきの間に隙間ができその隙間から水が流れ出てしまうので「はがき＋水」は落ちてしまう

表面張力は前記隙間から水をこぼれさせない効果はあるが「はがき＋水」が落ちないための力はほとんどないため表面張力は暗黙の了解として考えることが多い

パスカルの原理は中学校でも習うはずです
中学校ではまだ重さと質量の概念がいい加減なので厳密な議論はできないかもしれませんが定性的な説明ならできると思います
要は何が「落とす力」で何が「浮かす力」かを明確にすればいいのでは？

以下表面張力の効果を含めて前の回答を書き直してみる

コップとはがきの接触面の面積をＳ［ｍ＾２］とし
水面からはがきまでの長さをｈ［ｍ］とし
大気圧をＰ［Ｐａ］とし
水の密度をρ［ｋｇ／ｍ＾３］とし
はがきの質量をｍ［ｋｇ］とし
重力加速度をｇ［ｍ／ｓ＾２］とし
コップ内の気圧をＰｃ［Ｐａ］とし
表面張力によってコップが水を引き上げる力をＴ［Ｎ］とする

「はがき＋水」を落とす力：
水に働く重力による力：ρ・Ｓ・ｈ・ｇ［Ｎ］
はがきに働く重力による力：ｍ・ｇ［Ｎ］
コップ内の気圧がはがきを押し下げる力：Ｐｃ・Ｓ［Ｎ］

「はがき＋水」を浮かす力：
大気圧がはがきを突き上げる力：Ｐ・Ｓ［Ｎ］
コップが水を引き上げる力：Ｔ［Ｎ］

従って以下の関係があるとき「はがき＋水」は落ちない
ρ・Ｓ・ｈ・ｇ＋ｍ・ｇ＋Ｐｃ・Ｓ≦Ｐ・Ｓ＋Ｔ
すなわち
ρ・ｈ・ｇ／Ｐ＋（ｍ・ｇ－Ｔ）／（Ｓ・Ｐ）≦（Ｐ－Ｐｃ）／Ｐ　・・・（＊）

以下のように各数値を仮定する
Ｔ＝０［Ｎ］
ｍ＝０［ｋｇ］
ｈ＝０．０５［ｍ］
ρ＝１０００［ｋｇ／ｍ＾３］
ｇ＝１０［ｍ／ｓ＾２］
Ｐ＝１０００００［Ｐａ］（＝１０００［ｈＰａ］）

すると（＊）式は以下のようになる
０．００５≦（Ｐ－Ｐｃ）／Ｐ　

すなわちコップ内の圧力が大気圧よりも
０．５％程度低くなり 「はがき＋水」は落ちない

パスカルの原理により
コップ内の空気の体積をＶｃとすればＣを適当な定数として
Ｐｃ＝Ｃ／Ｖｃ 　∴ｄＰｃ／Ｐｃ＝－ｄＶｃ／Ｖｃ

よって圧力が大気圧と同一だったコップ内の空気の体積が
０．５％程度膨張し「はがき＋水」は落ちない

注：浮力は高低による圧力差によるものだから既にＰｃとＰに還元されている

この回答へのお礼

残念ながら、現在、中学校では、パスカルの原理も重力加速度ももちろん［Ｎ］もやらないんですよ。高校入試に出題されるということは、中学校の指導要領の範囲で説明できなければなりません。
自然科学の不思議を子供達に子供達の持っている知識で説明すること・・・これは、結構むずかしいものです。
たくさんの回答ありがとうございました。

お礼日時：2002/02/12 02:08

No.2 回答者： nuubou 回答日時： 2002/02/10 16:20

コップ内の気圧が下がるためには空気が膨張しなければなりません

だからはがきがどのように変形しようが空気の体積は増えているのです
空気が膨張しなければコップ内の気圧と大気圧は釣り合い
はがきと水に働く重力によってはがきと水は落下します
気圧差は空気の膨張によって発生するのです
はがきがへこんでいてもコップとはがきの接触面に水がはいり
コップ内の空気自体は増えているはずです
ふたをするときの状況も考慮しなければなりません
内側に押している場合が多いですから

この回答へのお礼

何度もありがとうございます。膨張した空気の体積分の水はコップとはがきの間にあるということで理解できました。はがきの代わりにフロッピーケースでも可能なようですが、その場合コップとフロッピーケースは完全にくっついてなくて隙間に水がある状態だそうです。その際、水の表面張力が働いているとのことでした。

お礼日時：2002/02/10 16:34