申し訳ない。。

なんべんもすみません！こたえてくれてるかたがた。。
無限級数の方はけっこういいかんじにわかってきました！！！

無限級数1+ x(1-x) + x^2(1-x)^2 + ・・・
が収束するとき、
（１）xの範囲を求めよ。
（２）この無限級数の和Sの範囲を求めよ。

ってやつで、（１）は、できて、（２）の範囲の一部分はわかったけど、のこりがわかりません。
ちなみに（１）の答えは(1-√5) /2<x<(1+√5)/2
で、（２）は、1/2<x まで分かったけど、解答には1/2＜x≦4/3 とかいてあって、のこりの範囲x≦4/3がわかりません。。。おしえてください！！

No.2 ベストアンサー 回答者： ume_pyon 回答日時： 2002/02/25 04:29

どうも，ふたたびです．

先ほどのものよりも結構ムズカシイですね．
解き方をいうのは簡単ですが，そこまでのプロセス，矛盾を理解するのが多少厄介です．
ある程度正しい理解をしてほしいので，説明をつけておきます．

------------------------------------------------
まず，
　　　r＝x(1-x)
としたとします．つまり，rは当数列の公比です．ここで，等比数列においては，

　　　総和Sが収束する
　　　→-1＜r＜1である
　　　→S＝a/(1-r)

ですので（これは数学３の教科書にでも書いてあるでしょう），

　　　r→-1　　・・・　　S→a/2　　・・・　　最小
　　　r→1　　・・・　　S→どんどん大きくなる　　・・・　　最大

というイメージになりますので，本問題においては，S＞1/2でいいじゃないか，と思いますよね．
しかし！　ここで問題になるのが，r→1という状況です．
本当に-1＜r＜1なら，答えはS＞1/2の可能性がありますが，（←これも本当はちょっと違うんですが，深入りはしません），
　　　r＝x(1-x)＝1
を試しに解いてみましょう．すると，xの答えは複素数ですね．

ここで何が起こっているかと言うと，
「xは複素数でも，rは実数になる＝だからSは収束する」
となっているのです．言い換えると，
「xが実数の範囲では，r＝1という値は取り得ない」
ということです．
（xが複素数というのは，「xに大小がない＝xの“範囲（＝対象）”に入らない」とイメージすれば，不適切ですよね．）

じゃあ，「xもrも共に実数である範囲」＝「xが実数のとき，rはどういう領域の値をとるのか」を検証する必要があります．そこで，rを縦軸，xを横軸にとって，r＝x(1-x)のグラフを書いてみましょう．すると・・・！

そうです！二次関数となります．ここで，実際に縦軸上に-1＜r＜1という範囲を取ってみると，この二次曲線は，-1＜r≦1/4という範囲しか通っていませんね．つまり，1/4＜r＜1という範囲は二次曲線が通らない領域なので，xは当然複素数になってしまい，おかしな話になってしまいます．

というわけで，-1＜r≦1/4の範囲でのSを求めると，

　　　r→-1のとき，S→1/2　　（x＝(1+√5)/2，(1-√5)/2のとき）
　　　r＝1/4のとき，S＝4/3　　　（x＝1/2のとき）

たしかに1/2＜S≦4/3となっているんですよ．

この回答へのお礼

ありがとうございます！！１
とってもよくわかりました★

お礼日時：2002/02/25 10:11

No.3 回答者： bigman 回答日時： 2002/02/25 08:52

Ｓ＝１／（ｘ＾２－ｘ＋１）＝１／（（ｘ－０．５）＾２＋３／４）であり

（１－√５）／２＜０．５＜（１＋√５）／２だから分母は３／４以上

No.1 回答者： thetas 回答日時： 2002/02/25 04:11

　ヒントですが・・

　公比をrとすると、r=x(1-x)であることは分かっていると思います。
　ただ（１）において、－１＜ｒ＜１を用いていますが、実は、ｒには最大値があります。
　それを、てがかりにされてはいかがでしょうか？