写像

関数ｗ＝Ｚ＾2によって、Ｚ平面上の曲線X＾2－Y＾2＝aはｗ平面上のどんな曲線に移るか。ただし、aは定数である。

ちなみにZ＝X＋ｉY　です。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2008/04/22 01:39

#1,#3です。

#3の補足質問の回答

＞＞Y=k/(2X)を(1)に代入してkの全てのXの実数条件からkの条件を求めてもよい。任意のkに対して(X,Y)の組が存在することが導けます。
＞でこれを代入して計算したらXの四次方程式になったのでそれを解いて
＞Ｘ＾2＝｛2a±√(4a＾2+4ｋ＾2)｝/4　となったので
＞実数条件はＸ＾2＝｛2a±√(4a＾2+4ｋ＾2)｝/4　≧0
でいいのでしょうか？
(1)を満たす任意のaと実数の組(X,Y)に対して、kがどんな範囲をとり得るか、という事です。Yは(1)式で(a,X)から決まりますので、
aとXのとり得る範囲、
または、
aとYのとり得る範囲から
kの範囲（条件）が求まります。
結果から言えば、kの範囲は全ての実数範囲という条件でよい事になるわけです。

＞実数条件はＸ＾2＝｛2a±√(4a＾2+4ｋ＾2)｝/4　≧0
a≦0の時はこの実数条件でいいですが、
a＞0の時は　(1)から　X^2=Y^2+a≧a(＞0)が実数条件になります。

何を示せばいいかという事をよく考えて下さい。
X＾2－Y＾2＝a…(1)を満たす実数の組(X,Y)がどんな範囲の値をとり、その（X,Y)の範囲でk=2XYがどんな実数の範囲をとるか、という事を求めたいという事です。

Y=k/(2X)を(1)に代入すれば
X^2-k^2/(2X)^2=a
k^2=4(X^2-a)X^2…(2)
また
X=k/(2Y)を(1)に代入すれば
k^2/(2Y)^2-Y^2=a
k^2=4(Y^2+a)Y^2…(3)

a＜0の場合、
(1)を満たすXの変域は全ての実数の範囲であるから
(2)を満たすkの値域は全ての実数の範囲となります。

a=0の場合、(2)は　k^2=4X^4…(2)'
(1)は X^2-Y^2=0,
X^2=Y^2…(1)'
(1)'を満たすXの変域は全ての実数の範囲であるから
(2)'を満たすkの値域は全ての実数の範囲となります。

a＞0の場合、
(1)を満たすYの変域は全ての実数の範囲であるから
(3)を満たすkの値域は全ての実数の範囲となります。

以上から、任意の実数a(正、ゼロ、負いずれであっても)に対して、kの変域は全ての実数の範囲となるといえます。
y=kなので、w座標系でyの変域は全ての実数の範囲となることが言えます。

この回答へのお礼

かなり分かってきました。ありがとうございます。

＞実数条件はＸ＾2＝｛2a±√(4a＾2+4ｋ＾2)｝/4　≧0
a≦0の時はこの実数条件でいいですが、
a＞0の時は　(1)から　X^2=Y^2+a≧a(＞0)が実数条件になります。
のところはなぜ｛2a±√(4a＾2+4ｋ＾2)｝/4　≧0で全ての場合が満たされないのでしょうか？場合分けが生じる理由がいまいちよくわかりません。

あと＞a＜0の場合、
(1)を満たすXの変域は全ての実数の範囲であるから
という部分でＸの変域が全ての実数の範囲であるというのがわかりません。
a＜0の場合にこうなるということなのでしょうか？
ここが分かればa>0の場合も分かると思います。
その続きの考え方はANo.2の方と同じということでよろしいですよね？
質問ばっかりで本当にすいません。

お礼日時：2008/04/22 20:42

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/04/21 00:55

#1です。

＞y=2XYのyが全ての実数を取りうるか分かりませんでした。
＞そこの部分はどうしたらいいのでしょうか？
y=2XYでX,Yのとり得る範囲を考えればおのずと出てくるかと思います。

X＾2－Y＾2＝a　…(1)
この式と
2XY=k(kは実数）…(2)
が共有点をもつ為の条件を求めればいいですね。
(1)はY=±Xを漸近線にもつ双曲線
(2)はX=0,Y=0を漸近線にもつ双曲線
ですから、任意の実数aに対して全ての実数kに対して
(1)と(2)常に2個の共有点(X,Y)を持ちます。
（グラフを描けば自明です。Y=k/(2X)を(1)に代入してkの全てのXの実数条件からkの条件を求めてもよい。任意のkに対して(X,Y)の組が存在することが導けます。）
つまり、
y=2XY=kですから、yのとり得る範囲かkのとり得る範囲と一致し、全ての実数範囲となります、

この回答へのお礼

分かり易い回答ありがとうございます。
図形的なやり方(共有点を持つための条件)は分かったんですが式でやる方法をやってみたんですが途中でわからなくなってしまいました・・・。
＞Y=k/(2X)を(1)に代入してkの全てのXの実数条件からkの条件を求めてもよい。任意のkに対して(X,Y)の組が存在することが導けます。
でこれを代入して計算したらXの四次方程式になったのでそれを解いて
Ｘ＾2＝｛2a±√(4a＾2+4ｋ＾2)｝/4　となったので
実数条件はＸ＾2＝｛2a±√(4a＾2+4ｋ＾2)｝/4　≧0
でいいのでしょうか？
ここからよく分からなくなってしまいました。
また実数条件のとらえ方としてもっと簡単な方法があるのでしょうか？

回答お願いします。

お礼日時：2008/04/21 21:05

No.2 回答者： dedenden 回答日時： 2008/04/20 23:22

a>=0 のとき、Y は任意の実数をとりうる。

XY=±√(Y^4+aY^2) となるので、任意の実数を取りうる。

a<=0 のとき、X は任意の実数を取りうる。
XY=±√(X^4-aX^2) となるので、任意の実数を取りうる。

この回答へのお礼

参考になりました！
ありがとうございます。

お礼日時：2008/04/21 21:06

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/04/20 21:26

丸投げの質問はマナー違反です。

何らかの解答を書いて、分からない箇所だけ具体的に質問するようにしてください。今後質問する時は注意して下さい。

削除対象になる覚悟で解答を書いておきます。
w=x+iy
=Z^2=(X+iY)^2=(X^2-Y^2)+i2XY
x=X^2-Y^2,y=2XY
の関係があります。
X＾2－Y＾2＝a…(1)
に適用すると
x=a…(2)
(1)の曲線はw面上では(2)で表される曲線（直線）に移ったことになります。

この回答へのお礼

すいません、知りませんでした。
えーと自分的にはX＝aになることは分かったんですが、y=2XYのyが全ての実数を取りうるか分かりませんでした。
そこの部分はどうしたらいいのでしょうか？

お礼日時：2008/04/20 22:26