フィボナッチ数列

a[0]=0,a[1]=1,a[n+2]=a[n+1]+a[n]
とするとき
limΣ(n=1,n→∞)(10^(-n)*a[n])=10/89
実際に計算してみるとなる(少なくとも電卓や数値計算ソフトの有効数字の範囲では)のですが、
理論的に導く方法がわかりません。

No.4 ベストアンサー 回答者： ryn 回答日時： 2006/09/09 21:28

x^{n+2} を x^2-x-1 で割ったときの商と余りをそれぞれ

　a[1]*x^n + a[2]*x^{n-1} + … + a[n-2]*x^2 + a[n-1]*x + a[n]
　px + q
とすると
　x^{n+2}
= (x^2-x-1)( a[1]*x^n + … + a[n-1]*x^2 + a[n]*x + a[n+1] ) + px + q
= a[1]*x^{n+2}
　+ (a[2]-a[1])*x^{n+1}
　+ (a[3]-a[2]-a[1])*x^n
　+ (a[4]-a[3]-a[2])*x^{n-1}
　+ …
　+ (a[n+1]-a[n]-a[n-1])*x^2
　+ (p-a[n+1]-a[n])*x
　+ (q-a[n+1])
となり，これが x についての恒等式であることから
　a[1] = 1
　a[2]-a[1] = 0
　a[3]-a[2]-a[1] = 0
　　：
　a[n+1]-a[n]-a[n-1] = 0
　p-a[n+1]-a[n] = 0
　q-a[n+1] = 0
が得られます．
つまり，商と余りの係数にフィボナッチ数列の各項が表れています．

a[n] がフィボナッチ数列であることに注意して
　x^{n+2} = (x^2-x-1)( a[1]*x^n + … + a[n-1]*x^2 + a[n]*x + a[n+1] ) + px + q
の両辺を (x^2-x-1)*x^{n+1} で割ると
（もちろん，x≠0, x^2-x-1 の場合を考えます）
　x/(x^2-x-1) = Σ(k=1～n+1){a[k]/x^k} + (px+q)/{(x^2-x-1)*x^{n+1}}
⇔Σ(k=1～n+1){a[k]/x^k} = x/(x^2-x-1) - (px+q)/{(x^2-x-1)*x^{n+1}}
したがって，|x|>1 の場合は右辺第二項が落ちるので
　lim Σ(k=1～n){a[k]/x^k} = x/(x^2-x-1)
が成り立ちます．

質問者さんの数値は x=10 ということですね．

この回答へのお礼

x^2-x-1に注目すれば10に対して89というのはすぐに出たんですね。

お礼日時：2006/09/09 22:14

No.3 回答者： R_Earl 回答日時： 2006/09/09 20:50

フィボナッチ数列の一般項は(等比数列)－(等比数列)の形で表されます。

「フィボナッチ数列の一般項」で検索すればすぐ見つかるはずです。
10^(-n)も等比数列なので、フィボナッチ数列に10^(-n)をかけたものも
(等比数列)－(等比数列)の形になります。つまり

10^(-n)*a[n] = (等比数列1)－(等比数列2)

です。
等比数列には和の公式があります。それを使って
(等比数列1)と(等比数列2)の第1項から第n項までの和をそれぞれ別々に求め、
n→∞を考えればいいと思います。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2006/09/09 20:49

フィボナッチ数列の一般解は

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3% …
のように与えられます。

これを利用すれば、
>limΣ(n=1,n→∞)(10^(-n)*a[n])=10/89
というは、要するに無限等比級数に帰着されます。証明はご自分で．

No.1 回答者： fronteye 回答日時： 2006/09/09 20:23

直接の回答にはなってませんが、

いま計算したら、つぎのように一般化できそうです。

２以上の任意の数 b に対し、
limΣ(n=1,n→∞)(b^(-n)*a[n])=b/(b^2-b-1)
が成り立つ。

参考になれば。