M⊂R^n={(x1,x2,…xn)|xi∈R}
Mi=Mの内点からなる集合 Me=Mの外点からなる集合
Mf=境界 Ma=Mの触点の集合
とする。次の事実を示せ。
1)Mfは閉集合である。
2)(Ma)a=Ma
という問題があります。
自分なりの考えは・・・
1)McがMの補集合とすると、
(Mf)c が開集合であることを示す??
(Mf)c=(Mc)f??
2)Ma=Mi∪Mfから
(Ma)a=(Mi∪Mf)a
=(Mi)a∪(Mf)a
=????
みたいな考えです。
でも私の考えでは解けないし、違う部分も沢山あるかと思います。
そこでどこが違うのかや正しい答え、アドバイスなどいただけたらうれしいです。
どうぞよろしくお願いします(><)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
1(Mf)c が開集合であることを示す??
この方針でいいと思います。Mfの補集合はMiとMeの合併集合です。
MiとMeが開集合であるとMfcも開集合になります。
MiとMeが開集合であることは内点と外点の定義より明らか。
2)Ma=Mi∪Mfから
(Ma)a=(Mi∪Mf)=(Mi)a∪(Mf)a
ここまではいいです。
あとはMaaはMaを含むのは明らかななのでMaがMaaを含むことを示せばいいです。MiはMに含まれるので(Mi)aはMaにふくまれる。また1)よりMfは閉集合なのでMfa=Mfがなりたつ。(なぜならAを閉集合とするとAcは開集合、開集合の定義よりAci=Ac成立。したがって(Aci)c=(Ac)c よってAa=A)
MiaもMfaもMaに含まれるのでMaaはMaにふくまれる よってMaa=Ma
No.2
- 回答日時:
この手の問題は,定義がどうなっているのかが一番大事だったりします.
いろいろな流儀があって,
何が定義で何が定理になるかはいろいろですが,
その定義が適切であれば
本質的には同じになるので,この手の問題は
位相空間の抽象的な議論になれるという
意味合いの方が強いでしょう
位相空間Xとその部分空間Mを考える.
Xの点xに対して,xがMの内点であるとは
xの開近傍Uで UがMに含まれるものが存在することをいう
Xの点xに対して,xがMの触点であるとは
xの任意の開近傍Uに対して,UとMが共通部分をもつこという.
Xの点xに対して,xがMの境界上の点であるとは
xがMの内点ではなく,かつ,Mの触点であることをいう.
こんな感じでしょうか.
#外点は無関係なので省きました
#定義するなら,触点でもなく内点でもない点でOKでしょう
こんな定義を仮定すると
(1)Mfは閉集合である
(Mf)c = ((Mi)c)c または (Ma)c
= (Mi) または (Ma)c
Miの任意の点xに対して,ある開近傍Uxが存在し,
Ux⊆Miとできる.したがって
Miはすべてのxに対するUxの和集合なので開集合
xが(Ma)cの点であるとする
このとき,定義よりxの開近傍UxでMと共通部分を持たないものが
存在する.Ux⊆(Ma)c であることを示せばよい
Uxの点uで,(Ma)cの点ではないものが存在するとする.
uはMaの点であるので,任意の近傍とMは共通部分をもつ.
ところが,Uxはuの近傍であるが,Uxの定義よりMとの共通部分はない.
これは矛盾.よって Ux⊆(Ma)c
以上より,(Mf)cは開集合の和となり,開集合
よって Mfは閉集合
(2)(Ma)a=Ma
#集合の一致は包含関係から攻めるのが一般的です
xをMaの任意の点とする
xの任意の開近傍Uxに対して,UxとMaは共通部分をもつ
(xはMaの点だから共通部分には少なくともxがある).
したがって定義より,xはMaの触点なので Ma⊆(Ma)a.
#実際は,M⊆Ma を示したことにもなります.
次に xを(Ma)aの任意の点とする.
xの任意の開近傍Uxに対して UxとMaは共通部分をもつ.
この共通部分内の点yをとる.
yはMaの点であるので,触点の定義より
yの任意の開近傍とMは共通部分をもつ.
Uxはyの開近傍でもあることに注意すれば
UxとMは共通部分をもつ.
Uxはそもそもxの任意の開近傍であったので
これはxがMの触点であることを示している.
つまり,(Ma)a⊆Ma
以上より,(Ma)a=Ma
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 哲学 M の話:ことばは オノマトペから出来てきた!? 1 2022/11/12 05:12
- 一眼レフカメラ OLYMPUSのフォーカスアシストについて 2 2022/03/31 13:59
- 数学 開集合・閉集合について 4 2022/11/04 13:53
- 一眼レフカメラ デジタル一眼レフでマニュアルフォーカスがしやすい機種について。 お時間頂戴してすみません。 デジタル 4 2022/11/14 20:15
- 政治 お辞儀の文化は止めたら良いと思いませんか? 13 2023/01/25 05:18
- 化学 連立方程式 質問 以前に誰かからこの質問のご回答をもらいましたが、 もっと複雑な計算したいですが M 1 2022/05/07 14:33
- 一眼レフカメラ 昨夜の夜11時頃、星空撮影しに南房総市へ どうやったら 綺麗な星空撮影ができるでしょうか? この写真 3 2022/05/01 23:35
- 数学 位相空間 X において, 点列 {xn} が x∞ に収束しているとき, 集合 {xn; n ∈ N 1 2023/01/17 18:53
- 一眼レフカメラ Canon R6 mark2 のピント合わせについて 5 2023/08/25 14:47
- サッカー・フットサル サッカー日本代表がセリエAやリーガエスパニョーラやプレミアリーグに参戦したら何位くらいですか? 2 2023/05/16 22:22
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
なにしてるかわからない。。
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
0と0は互いに素か
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
自然数 整数 有理数 実数 加法 ...
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
べき乗
-
数字の1とは何なのか?
-
三角関数(たとえばf(x)=sinxと...
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
ネットストーカーの定義 最近SN...
-
えっ!「来週」の使い方…
-
なぜ、直角三角形ではないのにs...
-
1未満と1以下の違い
-
正方行列ではない行列にも行列...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
0に限りなく近い数は存在するの?
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
べき乗
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
1未満と1以下の違い
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
数字の1とは何なのか?
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
変数の宣言の名称を教えてくだ...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
日本語 ことば ひとまわり ふた...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
Excelファイルの「数式」タブ→...
-
e<3の証明を教えてください。
-
なぜ小数は自然数ではないので...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
2進数の符号ビットの入った数...
-
最大元と極大元の定義の違いが...
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
フーリエ級数展開の初項はなぜa...
おすすめ情報