反変ベクトルと共変ベクトル

相対論のリーマン幾何学を勉強しているのですが、
座標系同士の間で、全微分(微小変化)に従うものを反変、偏微分に従うものを共変だと思いますが、反変の逆変換は共変、共変の逆変換は反変という解釈は正しいのでしょうか？

例えば反変ベクトル(アインシュタインの縮約を使って)
dx^i'=∂x^i'/∂x^j×dx^j
これを逆変換して
dx^j=∂x^j/∂xi×dx^i'
としたものは共変と考えていいのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2006/11/13 01:20

＞これは私の勘違いでしょうか？

それは勘違いではありませんが、
＞ct'= γct-βγx
＞x'=-βγct+γx
以外の変換もありますよね。一般には、同じ形にならない、という事ですよ。

#2に書きましたが、
B_j'＝∂x^i/∂x^j' B_i
dx^j=∂x^j/∂x^i'×dx^i'
を縮約とかΣを使わずに具体的に書いてみてください。
前者は∂x^i/∂x^j'の「分子」と、後者は∂x^j/∂x^iの「分母」と縮約をとっているのだから、一般には違う形になりますよね？

もしij成分が∂x^i/∂x^j'であるような行列が対称行列であれば、同じ形の変換則になるようですが、一般には対称行列とは限らないし、そもそも、変換の"向き"が違うのだから違う変換である事に変わりはありません。

この回答へのお礼

確かに(r, θ)座標系などでは全く違っていました。

ローレンツ変換のように対称行列だから結果が同じになっただけのことですね。

ありがとうございました。

お礼日時：2006/11/16 22:12

No.3 回答者： mococo-e 回答日時： 2006/11/11 02:02

No.1の者です。

申し訳ないです。私の逆変換に関する記述は間違えです。(私への回答への補足に書かれている事は)No.2さんが答えてくださっている通りです。

さらに、私の回答に間違いが合ったので訂正しておきます。

>共変ベクトルは、ベクトルの成分(添え字)の変換が基底ベクトルの成分(添え字)の変換と同じ変換の仕方に従うベクトル。

正しくは
「共変ベクトルは、ベクトルの成分(添え字)の変換が(4つある)基底ベクトル(添え字)の変換と同じ変換の仕方に従うベクトル。」
です。

私たちが普段、(相対論以外で)「ベクトル」といっている物は反変ベクトルのことであり、基底ベクトルも「(反変)ベクトル」なので、基底ベクトルの成分は反変ベクトルの変換を受けます。(ややこしいですが、大切な事なので。)

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2006/11/10 23:55

＞例に挙げたように反変ベクトルを逆変換した場合は変換則は共変だが、

いいえ、変換則が反変ベクトルのものだから、反変ベクトルなんですよ。
※逆変換というのは、座標系x'から座標系xへの変換ですよね。

あるいはこう書いた方が、共変ベクトルの変換則と違うのだ、という事が分かるでしょうか。
共変ベクトルというのは、座標系xから座標系x'への変換によって、
B_j'＝∂x^i/∂x_j' B_i
という変換を受けるものを指します。
＞dx^j=∂x^j/∂xi×dx^i'
と見比べると"係数"が同じなので(そう見えるので)、同じ変換則だと思うかもしれません(座標系xから座標系x'あるいはx'からxへの変換という違いを忘れる事にしましょう)。でも、違う変換則です。
この２つの式をアインシュタインの縮約とかΣを使わずに具体的に書き出してみてください。そうすれば違う変換だという事が分かるでしょう。(ま、行列を縦ベクトルに左からかけるのか、横ベクトルに右からかけるのか、という感じの違いですけどね)

この回答への補足

お答えありがとうございます。

ローレンツ変換
ct'= γct-βγx
x'=-βγct+γx
ローレンツ逆変換
ct= γct'+βγx'
x= βγct'+γx'

ローレンツ変換は反変ベクトルの変換則になっています、それを逆変換しても反変ベクトルの変換則になっていると思います。でもローレンツ逆変換は共変ベクトルの変換則にもなっています。だとすれば、反変を逆変換したものと共変は変換が一緒のようにどうしても思えてしまうんです。
実際ローレンツ変換を行列で表すと反変で書けます(全微分の定義)。でもこれに逆行列を掛けるとローレンツ逆変換(これも反変)になります。
そして、ローレンツ逆変換を共変で書くと(偏微分の連鎖則)、反変を逆変換したものと形が同じになります。
これは私の勘違いでしょうか？
よろしくお願いします。

補足日時：2006/11/12 21:51

No.1 回答者： mococo-e 回答日時： 2006/11/08 21:35

>全微分(微小変化)に従うものを反変、偏微分に従うものを共変だと思いますが

　そうではないですよ。
例えば、質問者さんが書かれている式の２つの左辺 dx^i'とdx^jはどちらも反変ベクトルです。
　ある座標系での共変ベクトルの成分を座標変換(ローレンツ変換)すると別の座標系での共変ベクトルの成分が作れ、ある座標系での反変ベクトルの成分を座標変換(ローレンツ変換)すると別の座標系での反変ベクトルの成分が作れます。なので、共変・反変ベクトルは共に全微分・偏微分の表記に従います。

>反変の逆変換は共変、共変の逆変換は反変という解釈は正しいのでしょうか？

　これは正しいですよ。
もともと共変ベクトルと反変ベクトルは次のようなベクトルの事を指すからです。
共変ベクトルは、ベクトルの成分(添え字)の変換が基底ベクトルの成分(添え字)の変換と同じ変換の仕方に従うベクトル。
反変ベクトルは、基底ベクトル成分と添え字が逆の変換の仕方(逆変換)に従うベクトル。

つまり、
基底ベクトルeの変換の仕方は
ei'=∂xj/∂xi'×ej　(i'とjは下付きの添え字)
共変ベクトルxの変換の仕方は
dxi'=∂xj/∂xi'×dxj　(i'とjは下付きの添え字)
反変ベクトルxの変換の仕方は
dx^i'=∂x^i'/∂x^j×dx^j　(i'とjは上付きの添え字)

となります。

この回答への補足

お答えありがとうございます。

つまり、例に挙げたように反変ベクトルを逆変換した場合は変換則は共変だが、反変ベクトル同士の変換なので、共変ベクトルではないということでよろしいのでしょうか？

補足日時：2006/11/09 13:38