一辺の長さ2の正四面体OABCにおいて、OA上に点Pを、内積(OA→、PB→)=1となるようにとり、次に点CからPBへ引いた垂線の足をQとする。
PQ;PBを求めよ。
解答
OA=a→、OB→=b→、OC→=C→とする。さらに、
OP→=kOA→=Ka→
とすると、PB→=PO→+OB→=-Ka+bよって
(OA→、PB→)=1から
(a→,-ka→+b→) = -k(a→,a→)+(a→,b→)=1 ..... (A)
さらに、PQ→=lPB→=l(-ka+b→)とすると
CQ→=CO→+OP→+PQ→
=-c→+ka→+l(-ka→+b→)=k(1-l)a→+lb→-c→であり
これがPB→と垂直であるから、内積は0である。
よって(k(1-l)a→+lb→-c→、-ka→+b→)=0
∴-k^2(1-l)(a→,a→)+k(1-2l)(a→,b→)+l(b→,b→)
+K(a→,c→)-(b→,c→)=0 ........(B)
ところが、一辺の長さが2で、a→とb→、b→とc→、c→とa→のなす角がすべて60°であるから、
(a.a)=(b,b)=4, (a,b)=|a||b|cos60°=2
同様に(b.c)=(a,c)=2 これらを(A),(B)に代入して
-4k+2=1 , -4k^2(1-l)+2k(1-2l)+4l+2k-2=0
∴k=1/4 , l=5/13, ∴ PQ;PB =l:1=5:13 (答)
質問1:求め方の意味はわかったのですが、計算ができませんでした。
(a、-ka+b)=1 という計算がどうして -k(a.a)+(a.b)=1 となったのでしょうか? (a,-ka+b) これらを互いに掛けたのではなくて、
a・a+-ka+b・-ka+b としたのでしょうか?すみません基本なところで>_<
質問2:最後のほうえ、(b.c)=(a.c)=2これらを(A),(B)に代入してとありますが、(B)はb、c、a.cがあるので、代入は簡単なのですが、
どうように(A)に代入したくても、(A)は -k(a.a)+(a.b)=1と
もじが (b.c)=(a.c)ではないので、代入できなさそうなのですが??
(B)に代入して得たKを(A)に代入ってことでしょうか??
>_<
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
【質問1について】
ベクトルの内積( , )に関して
(1)(A,B+C)=(A,B)+(A,C) (2)(A+B,C)=(A,C)+(B,C)
(3)(kA,B)=k(A,B) (4)(A,kB)=k(A,B)
が成り立ちます(ここでA,B,Cは全てベクトル、kは実数です)。
この中の(1)を使って
(a, -ka+b)=(a, -ka)+(a,b)
さらに右辺の第一項に(4)を使って
(a, -ka)+(a,b) = -k(a,a)+(a,b)
まとめると
(a,-ka+b)=-k(a,a)+(a,b)
です。ですから
(a,-ka+b)=1 から -k(a,a)+(a,b)=1
が結論されます。
ベクトルの内積(A,B)はA・Bとも表記されますが、
(1)~(4)の性質を計算で使う際は(A,B)の記号の方が
間違いをしにくく、また見やすいのでよく使います。
この(A,B)で内積を表す場合、ベクトルの成分表示(またはベクトルの成分表示による計算)と混同しやすいので注意して下さい。
見分けるポイントはカッコの中のものが数字かベクトルかです。
【質問2について】
こちらは単純な読み違いかと思います。
>(a,a)=(b,b)=4, (a,b)=|a||b|cos60°=2
>同様に(b.c)=(a,c)=2。これらを(A),(B)に代入して
で「これら」が指す部分は
(a,a)=(b,b)=4, (a,b)=2, (b,c)=(a,c)=2
全てだと思います。
したがって「これらを(A), (B)に代入して」というのは
この中で (a,a)=4 と (a,b)=2 を(A)に代入し、
(a,c)=2 と (b,c)=2 を(B)に代入する
という意味だと思います。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 ゼロベクトルになる理由を教えてください 2 2023/01/30 15:48
- 物理学 この問題がわかりません Pは質量m、床の動摩擦係数はμです 画像のようにABC地点のエネルギーを求め 3 2022/09/03 21:36
- 数学 高校時代電離平衡の計算に関しての質問です。 問題集で、 酢酸は水溶液中で一部が電離し、次のような電離 2 2022/10/22 18:59
- その他(悩み相談・人生相談) 友達と喧嘩しました。 その子はKaといい、女同士で片思いではありますが、恋していてまた、親友です。 2 2022/03/28 01:23
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
- 数学 数学の質問です。 △OAB の辺 OA を3:1 に外分する点をP, 辺 OB を 2:1 に内分す 1 2023/07/03 14:06
- 工学 永久機関を磁石で作れませんか?ずっと引き寄せる力があると思うのですが何かに利用できないのでしょうか? 2 2022/06/19 08:23
- その他(自然科学) 永久機関を磁石で作れませんか?ずっと引き寄せる力があると思うのですが何かに利用できないのでしょうか? 3 2022/06/22 10:57
- 数学 【 数I 2次関数の文章題 】 問題 ※写真 解答(先生作) t秒後にはPB=10-t,BQ=2tと 2 2022/06/28 17:40
- 化学 混合液のpHの濃度の計算 1 2022/11/08 09:40
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
恒等的に正しいとはどういう意...
-
至急!数学の基本問題、助けて...
-
無限分の1 = 0になると思います...
-
高2数学 軌跡
-
7で割ると2余り、11で割ると3余...
-
数学の質問です。 3で割ると2余...
-
SPIの問題
-
数学
-
TextBox1とTextBox2の数値の大...
-
解く過程が分かりません
-
1次方程式の整数解
-
3つが有理数。
-
e^ixを1次の項までテイラー展開...
-
これなんで、3のN−1乗なんで...
-
x+y/5=y+z/6=z+x/7 x+y+z=27 xy...
-
数Ⅰ 2X-3>a+8Xについて次の問い...
-
連立方程式 代入法の原理 加減...
-
FX:指定した時間の高値・安値を...
-
仕事算です
-
漸化式と極限の問題
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
SPIの問題
-
恒等的に正しいとはどういう意...
-
数学の質問です。 3で割ると2余...
-
高2数学 軌跡
-
3で割ると2余り,5で割ると3余...
-
w=1/z−iのときz平面上の図形は...
-
「Access」のフォームで、同じ...
-
計算問題
-
7で割ると2余り、11で割ると3余...
-
平衡定数の求め方について、ΔG=...
-
至急!数学の基本問題、助けて...
-
高校数1についての質問です。 ...
-
エクセル 2/3乗
-
TextBox1とTextBox2の数値の大...
-
4元連立方程式の解き方を教えて...
-
次の関数の組が線形独立である...
-
e^ixを1次の項までテイラー展開...
-
整数の問題です。(10^n)+1は素...
-
高校数学:整数
-
連想配列の初期化
おすすめ情報