楕円を回転 体積

xyz空間内に
楕円C：x^2/4＋y^2=1、z=0
直線l：ｚ＝ｘ＋２、ｙ＝０
がある。
楕円Cの周及び内部を直線ｌのまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ

この問題なのですが、直線に垂直な面で切って断面積を考えて、それを積分するという方針で解こうと思っているのですが、断面積の出し方がよくわからなくて困っています。
回答いただければ幸いです。お願いします

No.4 ベストアンサー 回答者： masuto84 回答日時： 2007/01/27 20:26

直線に垂直な面を考えると楕円との交線ができるのはわかりますか?

直線を回転させるとその交線が回転し
その面上で直線と交線の一番近い点との距離、一番遠い点との距離
を半径としたドーナツ状の円ができると思います

交線の一番近い点とはx軸上の点、遠い点とは楕円の周上の点になります

直線のある点を(t,0,t+2)で考えると
直線の垂線はx-z平面で考えると
Z=-X+2t+2なりますので
x軸との交点は(2t+2,0,0)
つまり(t,0,+2)できった交線は
楕円上のX=2t+2の直線です
よって一番近い点との距離が
|(t,0,t+2)-(2t+2,0,0)|
一番遠い点との距離が
|(t,0,t+2)-(2t+2,1-(2t+2)^2/4,0)|
となります
あとは遠い方の円の面積から近い方の円の面積を
引けばOKです

No.3 回答者： zk43 回答日時： 2007/01/27 15:38

楕円なので結構難しいですね…

ということで、とりあえずy方向に２倍に拡大して、
楕円をx^2 + y^2 = 4として半径が２の円にしてみます。
これは、行列
1 0 0
0 2 0
0 0 1
で空間を一次変換するということです。

この円を直線lの周りに回転すると、
半径が2√2の半球体…(1)
から
半径が2√2の円を底面とする高さ2√2の円錐…(2)
を除いたものができると思います。
（(1)は球体を平面で切ると、断面が円になるので、想像
　できると思います。また、うまい具合に(0,0,2)と(2,0,0)
　を結ぶ直線と、直線lが直角に交わっているので、ちょうど
　半球になる。）

(1)の体積から(2)の体積を引いたものを半分にすれば、
元の求めたい体積が出ると思います。

図形を行列Aで一次変換したとき、面積や体積は|A|（行列式）
倍になるというのは既知？

まともに積分計算すると大変なことになると想像します・・・

No.2 回答者： Willyt 回答日時： 2007/01/27 15:13

回転体なのですから断面は円になりますよね。

その円の半径は直線ｌから垂線を立てて楕円と交わった点までの足の長さになりますね。またスライスした盤の厚みは dx・sqrt(2) になるのは分りますね。

No.1 回答者： lick6 回答日時： 2007/01/27 14:33

>直線に垂直な面で切って断面積を考えて

l上の点 P(k,k+2)を通り直線に垂直な面で切ったとき楕円C内の領域も直線として現れます。
このときx軸上の点をQ、楕円の周上の２点のうちy>0の方を点Rとすると
この直線に対してPから一番遠いのはR、近いのはQですよね。
これをlに対してぐるっとまわしてやるとその断面積はドーナッツみたいな奴になると思います。
これでだせますか？