場合の数の問題です。

数直線上の整数点　x＝1,2,3,・・,n　に、合計ｎ個の黒又は、白の石を１つずつ、黒石どうしは隣り合わないように置く。黒石を３個使う置き方は何通りあるのか。ただしｎ≧5　とする。

一見すると、とても簡単な問題ですが、自分が出した答えと解答が間違っていたので、あれ？と思い、疑問に思い、質問することにしました。

自分の解答は・・・

（i）白石が、x＝１、ｘ＝ｎにあり、その他は２～ｎ－１にある場合

黒石は、白石の間のｎ－４の中に、３個置くため、　n-4C3通り

（ii）白石がｘ＝１　その他は２～ｎー１にある場合

黒石は、ｎ－３の中に、３個置くため、　n-3C3通り

（iii）
白石がｘ＝ｎ、その他は、１～ｎ－１にある場合も、（ii）と同様で
あるため、n-3C3通り

（iv）白石がｘ＝２～ｎ－１にある場合

黒石は、両端か、白石の間のｎ－２個の中から、３個選ぶから、
n-2C3通り

（i）～（iv）より
求める場合の数は、(n-4)(n-5)(4n-21)/6
となったんですが、答えとは違っていました。おそらく、９９％は自分の解答が間違っているとは思うのですが、どなたかなぜ僕の解答が間違っているのかご教授ください。宜しくお願いします。

No.1 回答者： jentle29 回答日時： 2007/02/05 20:11

黒石どうしが隣り合わないという条件が抜けているのではないでしょうか？

とりあえず、ｎ＝５、ｎ＝６、ｎ＝７で実際に試してみましょう。

この回答へのお礼

ズバリそうでした。本当にすみませんでした！！解決です＾＾；
本当にありがとうございました。

お礼日時：2007/02/10 18:35

No.2 ベストアンサー 回答者： killer_7 回答日時： 2007/02/05 20:31

n=5のとき，specialweek8912さんの解答では0通りになりますが，

実際は1通り（黒白黒白黒）だから，99%ではなく，確実に間違っています．
このように，小さいnについて，ご自分の答えに代入した値と実際の値を比較することで，答えが間違っていることが簡単に分かる場合があります．
特に解答があって，それが自分の答えと違うときには，まずこのことを確認するようにしましょう．

さて，この問題は，
「さきにn-3個の白石を並べておき，
白石どうしの間または隣のn-2箇所から，黒石を入れる場所として異なる3箇所を選ぶ場合の数」
を求める問題だから，答えは(n-2)C3通りですね．

specialweek8912さんの解答は，
(i)　両端が白
(ii) 左端だけが白
(iii)右端だけが白
(iv) 両端とも白でない
のように場合わけされていると思います．
(i)の場合の数は求められていますが，他は誤りです．
まず，(ii)は，
「x=1が白で，x=nは白でない」場合だから，x=nは黒です．
したがって，残りの黒石は2個しかありません．
にもかかわらず，黒石を入れる場所として3箇所選んでいるのが，まず間違いです．
さらに，x=nが黒のとき，x=n-1は白で確定だから，黒石を入れる場所として選べる場所は，n-3個の白石の間のみで，n-4箇所しかありません．
以上のことから，(ii)のときの場合の数は，(n-4)C2です．(iii)は当然これと同じ数ですね．

(iv)のとき，
x=1が黒，x=nが黒だから，
x=2,n-1が白で確定です．
残りの1個の黒石を置く場所は，x=3,...,n-2のn-4箇所から1箇所だけ選ぶから，n-4通りです．

以上をまとめて，(n-4)C3 + 2 * (n-4)C2 + n-4 通り．
これは，冒頭で書いた解答，(n-2)C3に一致するでしょう．

この回答へのお礼

解決しました。ご丁寧な解答本当にありがとうございました！

お礼日時：2007/02/10 18:36

No.3 回答者： leap_day 回答日時： 2007/02/05 20:40

n=5のとき条件に合うのは

　●○●○●　の1通りしかないですよね
(この○と●それぞれが別だとすると2!*3!=12通りになりますけど)

n=6のときは
　↓●↓○↓●↓○↓●↓　この↓6つの中のどこかに○が入ればいいので　6C1=6通りとなります(別72通り)

n=7のときは
　まずn=6のときと同じで1つ目の○が入るのは
　　↓●↓○↓●↓○↓●↓　6C1通り
　残りの1つは仮に↑での○が右端に入った（●○●○●○）とすると
　　↓●↓○↓●↓○↓●↓○↓　の7C1通りとなりますので
　n=7のときは6C1*7C1=42通り(別504通り）

という風に考えていくと・・・

n=5のとき　1(12)
n=6のとき　6(72)
n=7のとき　7*6=42(504)
n=8のとき　8*7*6=336(4032)

どうです？何か法則が見えてきませんか？

つまり　n個のときは　n*(n-1)*(n-2)*・・・
と(n-5)回掛けていってます

ということは『順列』でこういうのがありましたよね？
　　ｎPr=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)
というのが！！

rの部分は(n-5)ということになるので

　　nP(n-5)　　　　 (別)2!*3!*nP(n-5)　となります

n=5 5P0=1(通り)
n=6 6P1=6(通り)
n=7 7P2=7*6=42(通り)

合ってます？（？？）

この回答へのお礼

少し、自分にはよくわからないのですが、解答にはｎ－２Ｃ３とあったので、leap_dayさんのとは違っていました＾＾；しかし、貴重な時間を割いて解答してくださいまして、本当に感謝しています。ありがとうございました。

お礼日時：2007/02/10 18:39

No.4 回答者： age_momo 回答日時： 2007/02/06 07:56

なんとも言えない、良く考えているともいえますし、足りないともいえます。

１．場合わけするならその状況をきっちり踏まえましょう。
例えば(iv)は両端に白が来ないパターンを考えておられると思いますが、

＞黒石は、両端か、白石の間のｎ－２個の中から、３個選ぶから、
＞n-2C3通り

当然、両端に白が来る場合の数も数えていますね。(黒石3個とも白石の間を選べばそうなります）
この場合は両端に黒石が来るので残りの黒石1個が白石の間(n-4)から1個選んで(n-4)通りになる
はずです。

２．場合わけを考えている間にふと、全体を数える良い方法が見つかることがあります。
この場合、上の考え方で全てを数え上げています。答えは

n-2C3 通りだと思います。そういう時は頭を切り替えてこれを採用しましょう。


３．もっと応用の広い数え方として重複組合せという方法があります。
この問題はその応用で簡単に求まります。

▼　　　▼　　　▼　　　▼
　　●　○　●　○　●

黒3個と白2個はあらかじめ交互に配置しておき、残りの白石(n-5) 個を▼の場所4箇所に重複を許して
置く場合の数は

{(n-5)-(4-1)}C(4-1)=(n-2)C3

です。考え方は参考URLを見てください。

参考URL：http://www.nikonet.or.jp/spring/repeat/repeat.htm

この回答へのお礼

参考ＵＲＬまで用意してください、感謝で一杯です。皆様のおかげで、１００％理解することが出来ました。本当にありがとうございました！

お礼日時：2007/02/10 18:40