数直線上の整数点 x=1,2,3,・・,n に、合計n個の黒又は、白の石を1つずつ、黒石どうしは隣り合わないように置く。黒石を3個使う置き方は何通りあるのか。ただしn≧5 とする。
一見すると、とても簡単な問題ですが、自分が出した答えと解答が間違っていたので、あれ?と思い、疑問に思い、質問することにしました。
自分の解答は・・・
(i)白石が、x=1、x=nにあり、その他は2~n-1にある場合
黒石は、白石の間のn-4の中に、3個置くため、 n-4C3通り
(ii)白石がx=1 その他は2~nー1にある場合
黒石は、n-3の中に、3個置くため、 n-3C3通り
(iii)
白石がx=n、その他は、1~n-1にある場合も、(ii)と同様で
あるため、n-3C3通り
(iv)白石がx=2~n-1にある場合
黒石は、両端か、白石の間のn-2個の中から、3個選ぶから、
n-2C3通り
(i)~(iv)より
求める場合の数は、(n-4)(n-5)(4n-21)/6
となったんですが、答えとは違っていました。おそらく、99%は自分の解答が間違っているとは思うのですが、どなたかなぜ僕の解答が間違っているのかご教授ください。宜しくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
n=5のとき,specialweek8912さんの解答では0通りになりますが,
実際は1通り(黒白黒白黒)だから,99%ではなく,確実に間違っています.
このように,小さいnについて,ご自分の答えに代入した値と実際の値を比較することで,答えが間違っていることが簡単に分かる場合があります.
特に解答があって,それが自分の答えと違うときには,まずこのことを確認するようにしましょう.
さて,この問題は,
「さきにn-3個の白石を並べておき,
白石どうしの間または隣のn-2箇所から,黒石を入れる場所として異なる3箇所を選ぶ場合の数」
を求める問題だから,答えは(n-2)C3通りですね.
specialweek8912さんの解答は,
(i) 両端が白
(ii) 左端だけが白
(iii)右端だけが白
(iv) 両端とも白でない
のように場合わけされていると思います.
(i)の場合の数は求められていますが,他は誤りです.
まず,(ii)は,
「x=1が白で,x=nは白でない」場合だから,x=nは黒です.
したがって,残りの黒石は2個しかありません.
にもかかわらず,黒石を入れる場所として3箇所選んでいるのが,まず間違いです.
さらに,x=nが黒のとき,x=n-1は白で確定だから,黒石を入れる場所として選べる場所は,n-3個の白石の間のみで,n-4箇所しかありません.
以上のことから,(ii)のときの場合の数は,(n-4)C2です.(iii)は当然これと同じ数ですね.
(iv)のとき,
x=1が黒,x=nが黒だから,
x=2,n-1が白で確定です.
残りの1個の黒石を置く場所は,x=3,...,n-2のn-4箇所から1箇所だけ選ぶから,n-4通りです.
以上をまとめて,(n-4)C3 + 2 * (n-4)C2 + n-4 通り.
これは,冒頭で書いた解答,(n-2)C3に一致するでしょう.
No.4
- 回答日時:
なんとも言えない、良く考えているともいえますし、足りないともいえます。
1.場合わけするならその状況をきっちり踏まえましょう。
例えば(iv)は両端に白が来ないパターンを考えておられると思いますが、
>黒石は、両端か、白石の間のn-2個の中から、3個選ぶから、
>n-2C3通り
当然、両端に白が来る場合の数も数えていますね。(黒石3個とも白石の間を選べばそうなります)
この場合は両端に黒石が来るので残りの黒石1個が白石の間(n-4)から1個選んで(n-4)通りになる
はずです。
2.場合わけを考えている間にふと、全体を数える良い方法が見つかることがあります。
この場合、上の考え方で全てを数え上げています。答えは
n-2C3 通りだと思います。そういう時は頭を切り替えてこれを採用しましょう。
3.もっと応用の広い数え方として重複組合せという方法があります。
この問題はその応用で簡単に求まります。
▼ ▼ ▼ ▼
● ○ ● ○ ●
黒3個と白2個はあらかじめ交互に配置しておき、残りの白石(n-5) 個を▼の場所4箇所に重複を許して
置く場合の数は
{(n-5)-(4-1)}C(4-1)=(n-2)C3
です。考え方は参考URLを見てください。
参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/repeat/repeat.htm
参考URLまで用意してください、感謝で一杯です。皆様のおかげで、100%理解することが出来ました。本当にありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
n=5のとき条件に合うのは
●○●○● の1通りしかないですよね
(この○と●それぞれが別だとすると2!*3!=12通りになりますけど)
n=6のときは
↓●↓○↓●↓○↓●↓ この↓6つの中のどこかに○が入ればいいので 6C1=6通りとなります(別72通り)
n=7のときは
まずn=6のときと同じで1つ目の○が入るのは
↓●↓○↓●↓○↓●↓ 6C1通り
残りの1つは仮に↑での○が右端に入った(●○●○●○)とすると
↓●↓○↓●↓○↓●↓○↓ の7C1通りとなりますので
n=7のときは6C1*7C1=42通り(別504通り)
という風に考えていくと・・・
n=5のとき 1(12)
n=6のとき 6(72)
n=7のとき 7*6=42(504)
n=8のとき 8*7*6=336(4032)
どうです?何か法則が見えてきませんか?
つまり n個のときは n*(n-1)*(n-2)*・・・
と(n-5)回掛けていってます
ということは『順列』でこういうのがありましたよね?
nPr=n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)
というのが!!
rの部分は(n-5)ということになるので
nP(n-5) (別)2!*3!*nP(n-5) となります
n=5 5P0=1(通り)
n=6 6P1=6(通り)
n=7 7P2=7*6=42(通り)
合ってます?(??)
少し、自分にはよくわからないのですが、解答にはn-2C3とあったので、leap_dayさんのとは違っていました^^;しかし、貴重な時間を割いて解答してくださいまして、本当に感謝しています。ありがとうございました。
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