摩擦力のした仕事が熱エネルギーに・・・

２つのボール（ＡとＢ）がこすれるように衝突して、
２物体間に摩擦力が働き、その摩擦力のした仕事が
熱エネルギーに変わる。としたとき、
１）ＡがＢから受けた摩擦力によってなされた摩擦力による仕事と、
２）ＢがＡから受けた摩擦力によってなされた摩擦力による仕事は、

どちらか一方考えれば他方は考えなくて良いのでしょうか?
つまりこれは２物体の非完全弾性衝突なので
それぞれの運動エネルギー（Ｋ）は、衝突の前後で

Ｋ（Ａ前）+　Ｋ（Ｂ前）　
＝　Ｋ（Ａ後）＋　Ｋ（Ｂ後）＋熱エネルギー

このようになると思うのですが、この“熱エネルギー”は
上の１）か２）のどちらか一つの仕事と考えてよいのでしょうか？

No.3 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/17 12:02

摩擦は２つの物体が接触して起こるものです。

エネルギーが元々片方から供給されていたとしても熱エネルギーの発生は両方の働きです。発生した熱のいくらずつがという判断は本来出来ないものです。発生した熱の総量ははじめのエネルギーの減少で考えることが出来ます。
摩擦力も力ですから仕事をすることは出来ます。その仕事によって力学的エネルギーが変化する場合も熱エネルギーが変化する場合もあります。力学的エネルギーに代わったときはどの物体のエネルギーが変化したということがはっきりします。熱の場合はどちらの物体のという特定は出来ません。

例１　水平な床の上を物体が滑ってきて摩擦のためにある距離運動した後、止まってしまった。
物体は運動エネルギーを失います。その分熱が発生します。その熱は床も物体も貰っています。温度が上がったという以外、床の変化はありません。物体にブレーキを掛けたということで物体は力に逆らって仕事をしています。その分エネルギーを失っています。失った運動エネルギーは（摩擦力）×（物体の滑った距離）です。でも床がこの仕事をされたというわけではありません。床は熱エネルギーを貰っていますがどれだけ貰ったかは分かりません。

例２　摩擦のない床の上に物体Ａがある。物体Ａの上を物体Ｂが運動する。ＡとＢの間には摩擦がある。Ｂはある距離滑ってからＡの上で止まった。
Ａはどういう運動をしているか分かりますか。Ｂが止まった後はＡＢが一緒になって運動しています。
（はじめのＢの持っていた運動エネルギー）
＝（一緒になって運動しているときのＡＢの運動エネルギー）＋（熱）
です。Ａは摩擦力で加速されます。Ａの運動方程式のＦの所には摩擦力ｆが入ります。Ａの運動エネルギーはＢのした仕事で移ったものです。摩擦力が仲介しています。Ｂはこの摩擦力で減速されます。Ｂの運動方程式のＦには－ｆが入ります。でもＢの失ったエネルギーはＡの貰ったエネルギーではありません。熱は両者の間で出ています。（Ｂのした仕事）≠（Ａのされた仕事）です。

（１）Ａが摩擦力によってされた仕事はＡの運動エネルギーの増加に等しい。このエネルギーの増加は（摩擦力）×（Ａの動いた距離）に等しい。
（２）Ｂが摩擦力に対してした仕事はＢの運動エネルギーの減少に等しい。このエネルギーの減少は（摩擦力）×（Ｂの動いた距離に等しい）
（３）（Ｂの運動エネルギーの減少）は（Ａの運動エネルギーの増加＋摩擦熱）である。発生した摩擦熱は（摩擦力）×（ＢがＡの上を滑った距離）に等しい。

この場合で言うと貴方の書かれている１）と２）は違うことになります。両方考える必要があります。
一度運動方程式を立ててきちんと解いてみて下さい。きちんと解けば上に書いた（１）（２）（３）が自動的に出てきます。
Ａの上でのＢの運動が止まる条件はＡＢの速さが同じになることです。
ＡＢに対して運動方程式を立てるとき位置、速度は床に対するものになっています。この場合、ＡＢで動く距離が違います。

補足
この場合運動エネルギーは保存していませんが運動量は保存しています。作用時間が長いですが作用反作用が成り立っています。衝突後、一体になって運動していますから完全非弾性衝突です。ｅ＝０です。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2007/03/16 19:14

正確な言い方ではないですけど、完全弾性衝突の時と比べると、

>１）ＡがＢから受けた摩擦力によってなされた摩擦力による仕事と、
の分だけ、Ａの運動エネルギーが増減し、
>２）ＢがＡから受けた摩擦力によってなされた摩擦力による仕事は、
の分だけＢの運動エネルギーが増減するわけですから、

1)と2)の両方の寄与が、Ａ＋Ｂの系の運動エネルギーの減少量、つまり、最後の方にある式の"熱エネルギー"に相当しますね。

「衝突」ではないですが、
摩擦のない床の上に物体Ａを置き、物体Ａの上に物体Ｂを置き、Ａ－Ｂ間に(速度差があれば)摩擦力が働くという状況を考えれば、1)と2)の和が運動エネルギーの減少分になるという結果が得られます。

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2007/03/16 18:10

１と２は同じものです。

言い方を変えただけですから、どちらでもいいのです。