どうしても解けない問題たち・・・。助けてください！！

次の二問を△ＡＢＣにおいて、成り立つことを証明せよ。
１(a-c)sinA+(c-a)sinB+(a-b)sinC=0
２a(bcosC-ccosB)=b^2-c^2

３△ＡＢＣにおいて、acosA+bcosB=ccosCが成り立つとき、△ＡＢＣが直角三角形であることを証明せよ。

４△ＡＢＣにおいて、次の等式を証明せよ。
Ｓ=a^2sinBsinC分の２sin(B+C)

お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/06/10 02:18

１の問題は(b-c)sinA...でないとおかしいと思います.

４も「Ｓ=a^2sinBsinC分の２sin(B+C) 」分母分子が多分逆．Ｓ=a^2sinBsinC／{
２sin(B+C)}でしょうね．

ヒント(上の修正後の問題について)
１...正弦定理よりsinA=a/2R (Rは外接円の半径)など
２...余弦定理より cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab (∠Cに対応する辺c(の２乗)を引くのがポイント．対応関係を考えると cosB=?
３...これも余弦定理の式を代入して整理．
４,,,△ＡＢＣでsin(B+C)＝sin(180-A)=sinA に注意して，後はsinAとsinB(またはsinAとsinC)の２つだけを正弦定理で書き換えるとみたような形が．．．（見覚えなければキケンです）．３つとも書き換えると，辺だけの式になって失敗します．

この回答へのお礼

ありがとうございました。２以外はすべて解くことができました。
しかし、２は解けないですね・・・。cosBもしっかり式に直しましたが、代入しても、b^2-c^2にはならないんですよ。
ヒント下さい。

お礼日時：2002/06/10 02:48

No.3 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/06/10 03:10

２の補足（合わなければケアレスミスでしょう）

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab, cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ca
を左辺に代入して
a(bcosC-ccosB)=a{b*(a^2+b^2-c^2)/2ab - c*(c^2+a^2-b^2)/2ca}
=(1/2)*{(a^2+b^2-c^2)- (c^2+a^2-b^2)}
=(1/2)*{(b^2-c^2)- (c^2-b^2)}
=(1/2)*2*(b^2-c^2)
=b^2-c^2
よって示された．

No.1 回答者： wogota 回答日時： 2002/06/10 02:11

それほど難しい問題ではないですよ。

三角形の性質を勉強すれば問題ないので。

手始めに、1でも。
多分、△ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=cとしておきます。多分、そうだと
思いますので。
あと、左の括弧は(a-c)でなく(b-c)でしょう。

△ABCのAからBCに向かって、垂線を引くと、次のことがわかります。
c・sinB=b・sinC
同様に、B、Cについて、
a・sinC=c・sinA
b・sinA=a・sinB
となるので、各辺を足して
b・sinA+c・sinB+a・sinC=c・sinA+a・sinB+b・sinC
となるので、左辺に集めて
(b-c)sinA+(c-a)sinB+(a-b)sinC=0
となります。

まずは、この程度で。