数学的帰納法

任意の自然数nに対して
(1/2)(3/4)(5/6)…((2n-1)/2n) < 1/√(3n)
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。

という問題なのですが、帰納法がうまく使えず
難航しています。教えて下さい。

No.7 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/28 13:25

＃３です

御免なさい、うまくいっていませんでしたね
ならこのうまくいかなかった反省
(√{(4k²+4k+1)/(4k²+4k) では行き過ぎ　その手前の状況を調べたい！）を生かして
うまくいきそうな、1クッションを考えてみることです
例えば
1/2･3/4･5/6・・・(2n-1/2n)<1/√(3n+1)< 1/√(3n)
という具合に
これなら先ほどの不具合を回避できそうな予感です・・・
1/2･3/4･5/6･･2n-1/2n<1/√(3n+1)…①

[a] n=1で①成立ではないので
=も付け加えて　変更！！
1/2･3/4･5/6･･2n-1/2n≦1/√(3n+1)…①'

[a] n=1で、①'成立
[b]n=kで①'成立と仮定
1/2･3/4･5/6･･2k-1/2k≦1/√(3k+1)
n=k+1では
1/2･3/4･5/6･･(2k-1/2k)(2k+1/2k+2)√(3k+4)
={1/2･3/4･5/6･･(2k-1/2k)√(3k+1)}
x{(2k+1/2k+2)√(3k+4)/√(3k+1)}
≦{(2k+1/2k+2)√(3k+4)/√(3k+1)}
＝√{(4k²+4k+1)(3k+4)/(4k²+8k+4)(3k+1)
=√(12k³+28k²+19k+4/12k³+28k²+20k+4)<1
⇔1/2･3/4･5/6･･(2k-1/2k)(2k+1/2k+2)<1/√(3k+4)
n=k+1の時も成立①'成立
関連して　①も成立

この回答へのお礼

ありがとうございます…！！
すごいです。

言われてみると自然な発想かもしれませんが、
私には全然思いつきませんでした。

お礼日時：2021/05/28 18:55

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/28 18:00

1/2･3/4･5/6・・・((2n-1)/2n)≦1/√(3n+1)< 1/√(3n)

だね＞#9. 等号に注意.

この回答へのお礼

わかりました。

お礼日時：2021/05/28 18:58

No.9 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/28 13:32

たびたび　御免

①は関係なかった

正しくは
関連して　任意のnで、
1/2･3/4･5/6・・・(2n-1/2n)<1/√(3n+1)< 1/√(3n)も成立

この回答へのお礼

強い不等式を示す方が帰納法で示しやすいとは…
思いも寄らぬ不思議さに驚きました。

このたびは本当にありがとうございました。

お礼日時：2021/05/28 18:57

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/28 13:30

#7締めを書き忘れました

関連して　任意のnで①も成立
当然、1/2･3/4･5/6・・・(2n-1/2n)<1/√(3n+1)< 1/√(3n)も成立

この回答へのお礼

ありがとうございます。
訂正されなくてもとてもわかりやすかったです。

お礼日時：2021/05/28 18:55

No.6 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/05/28 12:53

そっか、(1/2)(3/4)(5/6)…((2n-1)/2n)

の最後の項のn=n+1とするので、
f(n)(2n+1)/(2n+2) ですね、、、
まあでも、同じような感じでできるんじゃないかな
また後でやってみます

この回答へのお礼

よろしくお願いします…。

お礼日時：2021/05/28 12:55

No.5 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/05/28 12:40

> f(n+1)<(1/√(3n) )(2n)/2(n+1)

これは、
f(n+1)=f(n)(2n)/2(n+1) に　f(n)< 1/√(3n) を当てはめた結果です。

この回答へのお礼

聞き方が悪かったかもしれません…。

そもそも、
f(n+1)=f(n)(2n+1)/2(n+1)
ではないでしょうか…？

お礼日時：2021/05/28 12:45

No.4 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/05/28 11:31

しつれいしました、、、

f(n)< 1/√(3n) であるとき、
f(n+1)<1/√[3(n+1)]
f(n+1)=f(n)(2n)/2(n+1)<1/√[3(n+1)]
ですけど、
f(n)<1/√(3n) ですから、
f(n+1)<(1/√(3n) )(2n)/2(n+1)=(1/√(3n) )(n)/(n+1))<1/√[3(n+1)]
(1/√(3n) )(n)/(n+1))<1/√[3(n+1)]
n√[3(n+1)]<(n+1)√(3n)
3ｎ²(n+1)<3(n+1)²ｎ
ｎ<n+1

ってかんじですかね？

この回答へのお礼

> f(n+1)<(1/√(3n) )(2n)/2(n+1)

ここは、

f(n+1)<(1/√(3n) )(2n+1)/2(n+1)

ではないでしょうか…？

お礼日時：2021/05/28 12:13

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/28 11:28

n=k+1の時の処理がpointでしょうか・・・

(1/2)(3/4)(5/6)…((2n-1)/2n) < 1/√(3n)・・・①について

[a] n=1のとき①が成り立つことを確認
→(1/2)<1/√3 　・・・OK

[b] ＜（差を取るのは難しいかも、ということで）比を取って大小比較＞
n=kのとき①が成り立つと仮定すると
(1/2)(3/4)(5/6)…((2k-1)/2k) < 1/√(3k)
⇔(1/2)(3/4)(5/6)…((2k-1)/2k) √(3k)< 1・・・②
n=k+1のときを考えて
(1/2)(3/4)(5/6)…{(2k-1)/2k}{(2k+1)/2(k+1)}÷ 1/√(3k+3)
＝(1/2)(3/4)(5/6)…{(2k-1)/2k}{(2k+1)/2(k+1)}・√(3k+3)
=(1/2)(3/4)(5/6)・・・{(2k-1)/2k}{(2k+1)/2(k+1)}
x{√(3k)/√(3k)}・√(3k+3)
=(1/2)(3/4)(5/6)・・・{(2k-1)/2k}√(3k)
x{(2k+1)/2(k+1)}{√(3k+3)/√(3k)}
<{(2k+1)/2(k+1)}{√(3k+3)/√(3k)} ←←←②利用の結果
=√{(2k+1)²(k+1)/4(k+1)²k}
=√{(2k+1)²/4(k+1)k}
=√{(4k²+4k+1)/(4k²+4k)<1
⇔(1/2)(3/4)(5/6)…{(2k-1)/2k}{(2k+1)/2(k+1)}< 1/√(3k+3)
n=k+1の時も成立
[a][b]より帰納的に①成立（計算ミスはご容赦ください）

この回答へのお礼

√{(4k²+4k+1)/(4k²+4k)}>1

ではないでしょうか…？

お礼日時：2021/05/28 12:10

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/05/28 11:17

＞帰納法がうまく使えず・・・

どの様に使ったのかを 書いてくれると、
あなたの疑問に沿った 回答が期待できます。

この回答へのお礼

No.1 の方と同様です…。

それでは、私の疑問に沿った回答を期待しています。
よろしくお願いします。

お礼日時：2021/05/28 11:22

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/05/28 10:53

f(2)=3/8<1/√6

f(n+1)=f(n)・2(n+1)/2n＜2(n+1)/2n√(3n)

だから、2(n+1)/2n√(3n)>1/[√3(n+1)]を示せばよい
？　2(n+1)/2n√(3n)>1/√[3(n+1)]
⇔　[2(n+1)/2n√(3n)]²>1/(3n+3)　　　　　ｎ∈Ｚなので
⇔　(n+1)²/3ｎ³＞1/（3n+3）
⇔　(n+1)³＞ｎ³
という感じになりました。
あとは、証明として書けばよいだけです。

出てくる数がすべて自然数なので、二乗しても大小は変わらないというのがポイントですかね？

この回答へのお礼

逆では…？

1/[√3(n+1)]>2(n+1)/2n√(3n)
を示すのでは…？

お礼日時：2021/05/28 11:17