絶対値の不等式の証明ができません

｜a+b｜≧｜a｜-｜b｜
そ証明せよ，という問題がわかりません．

｜b｜を移項して，
｜a+b｜+｜b｜≧｜a｜
両辺がそれぞれ0より大きいので，両辺を２乗して
{｜a+b｜+｜b｜}＾2≧｜a｜＾2
｜a+b｜＾2+2｜a+b｜｜b｜+b＾2≧a＾2
ここで，左辺-右辺=a＾2+2ab+b＾2+2｜a+b｜｜b｜+b＾2-a＾2
=2ab+b＾2+2｜a+b｜｜b｜+b＾2≧0
b＾2,2｜a+b｜｜b｜,b＾2
はそれぞれ0より大きいのですが，2abが0より大きいとは限らないのでこれは間違っていると思います．

どうすれば証明できますか？

No.3 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/11/27 09:31

数1にベクトルなんか持ち出すなよ。

。。。。。ｗ
質問者のレベルで解答できないんだろうか？、回答者君　

｜a+b｜≧0であるから、
(1)｜a｜-｜b｜≦0の時、自明。等号成立は？
(2)｜a｜-｜b｜≧0の時、両辺は非負から2乗しても同値。
　計算すると、左辺-右辺＝2（ab＋｜ab｜）
ab≧0の時、左辺-右辺＝4ab≧0　等号成立は？
ab≦0の時、左辺-右辺＝0　等号成立は？

この回答へのお礼

ありがとうございます．
やはり場合わけしたほうがいいのですね．
これからもよろしくお願いします．

お礼日時：2009/11/28 19:43

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/11/27 12:54

＞どうすれば証明できますか？

君の方針でも出来るよ。不等式の証明の基本は（この場合は）　左辺-右辺≧0　を示してやれば良い。

｜a+b｜+｜b｜≧｜a｜≧0から2乗しても同値。ここまでは、君の方針の通り。

従って、Ｐ＝（左辺）＾2-（右辺）＾2＝b*（a＋b）＋｜b*（a＋b）｜であるから、
(1)　b*（a＋b）≧0の時、Ｐ＝2b*（a＋b）≧0　
(2)　b*（a＋b）≦0の時、Ｐ＝b*（a＋b）-b*（a＋b）＝0

後は、(1)と(2)で等号が成立する時の条件を示すだけ。　

この回答へのお礼

ありがとうございます．
最初の方までは同じようにして，移項などをした後に絶対値記号のなかによって場合わけすればいいのですね．
これからもよろしくお願いします．

お礼日時：2009/11/28 19:49

No.2 回答者： kommon 回答日時： 2009/11/26 20:38

　そもそも、不等式の証明で与えられた不等式を使っている時点で、それは証明とは言えないです。

　例）
　a≦ｂを示せ。で、与えられた不等式より０≦ｂ-aよってa≦b。

　みたいな証明はナンセンスです。

　それに、書かれた不等式は右辺がマイナスになることもあるので、なんだか問題として情けない感じもします。左辺は必ずプラスですから、そもそも右辺がプラスにならないと話にもなりません。

　｜a+b｜≧｜｜a｜-｜ｂ｜｜

　（絶対値の差の絶対値）なら分かりますが...

　また、三角不等式

　｜｜a｜-｜ｂ｜｜≦｜a+b｜≦｜a｜+｜ｂ｜

　がなりたちます。これは、『三角形の二辺の和は他の一辺より大きい』と、ベクトルを用いれば、明らかです。

　簡単ですから、自分でやってみることをオススメします。

　

この回答へのお礼

ありがとうございます．
ベクトルがわからないです．
右辺がプラス，でもマイナスでも成り立つことを証明したいです．
これからもよろしくお願いします．

お礼日時：2009/11/28 19:52

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/11/26 20:28

移項せずに 2乗してみては？

ポイントは、abと |ab|の比較です。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
｜a｜-｜b｜＜0のとき２乗すると不等号が逆になるときがあるのではないですか？
これからもよろしくお願いします．

お礼日時：2009/11/28 19:51