面積の最大値

曲線y=z^2と直線y=x+2が与えられている。以下の問に答えなさい。

・点Pが曲線上のAとBの間を動くとき、三角形PABの面積の最大値を求めなさい。

この最大値を求めるとき、y軸によってわかれる２つの三角形を考えたほうがいいのでしょうか？？
それとも、直線ABを底辺とし考えるべきでしょうか？
どちらにせよ、高さを求める方法が思いつきませんでした。
初歩的ですが、ご教授よろしくお願いしますm(__)m

No.6 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/05/16 01:52

＃５です間違いの巣窟でした

X^2=X+2
X^2-X-2=0
(x-2)(X+1)=0
B(-1,1),A(2,4)
ABの方程式は　Ｘ－Ｙ＋２＝０
ーーー
解＃２

弧ＡＢ上の点をＰ（Ｔ、Ｔ＾２）とする。
点Ｐをとおりｙ軸と平行な直線をｍとする。
ｍとＡＢの交点はＱ（Ｔ、Ｔ＋２）となる

ＰＱ＝Ｔ＋２－Ｔ＾２
求める△ＡＰＢの面積をＳとする。
Ｓ＝（１／２）（Ｔ＋２－Ｔ＾２）＊３

または、
Ｓ＝△ＡＰＢ
＝△ＢＰＱ＋△ＡＰＱ
＝（１／２）（Ｔ＋２－Ｔ＾２）(T+1)＋（１／２）（Ｔ＋２－Ｔ＾２）(２-T)
＝（１／２）（Ｔ＋２－Ｔ＾２）＊３
＝（３／２）（Ｔ＋２－Ｔ＾２）
＝ー(3/2)（Ｔ＾２）＋(3/2)Ｔ＋3
＝－２（Ｔ－（１／２））＋２７／８
よって、Ｘ＝（１／２）のときＭＡＸ　２７／８
（微分してもＯＫ）

－－－
解＃３

Ｙ＝Ｘ＾２の接線の中で、ＡＢと平行な接線をＬとする。
Ｌの傾きは１
Ｙ’＝２Ｘ
２Ｘ＝１
Ｘ＝（１／２）
つまり、最大値を与えるＸはＸ＝（１／２）
その時の面積Ｓは
Ｓ＝（１／２）（(1/2)+2-(1/4)）＊３＝２７／８

または、
点Ｐ（1/2,1/4）と直線ＡＢ（X-Y+2=0）の距離を求める。
距離Ｄ＝｜9/4｜／√２
ＡＢ＝３√２
Ｓ＝（１／２）＊３√２＊（(9/4)／√２）＝２７／８
ーーー

この回答へのお礼

わざわざ訂正の返信ありがとうございます。
おかげで、間違いの理由がわかりました。
本当助かります。
ありがとうございましたm(__)m

お礼日時：2007/05/16 02:07

No.5 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/05/16 00:13

ーーー

解＃２

弧ＡＢ上の点をＰ（Ｔ、Ｔ＾２）とする。
点Ｐをとおりｙ軸と平行な直線をｍとする。ｍとＡＢの交点はＱ（Ｔ、２Ｔ）となる

ＰＱ＝２Ｔ－Ｔ＾２
求める△ＡＰＢの面積をＳとする。
Ｓ＝（１／２）（２Ｔ－Ｔ＾２）＊２

または、
Ｓ＝△ＡＰＢ
＝△ＢＰＱ＋△ＡＰＱ
＝（１／２）（２Ｔ－Ｔ＾２）Ｔ＋（１／２）（２Ｔ－Ｔ＾２）（２－Ｔ）
＝（１／２）（２Ｔ－Ｔ＾２）＊２
＝ー（Ｔ＾２）＋２Ｔ
＝－（Ｔ－１）＾２＋１
よって、Ｘ＝１のときＭＡＸ１
（微分してもＯＫ）

－－－
解＃３

Ｙ＝Ｘ＾２の接線の中で、ＡＢと平行な接線をＬとする。
Ｌの傾きは２
Ｙ’＝２Ｘ
２Ｘ＝２
Ｘ＝１
つまり、最大値を与えるＸはＸ＝１
その時の面積Ｓは
Ｓ＝（１／２）（２－１）＊２＝１

または、
点Ｐ（１、１）と直線ＡＢ（２Ｘ－Ｙ＝０）の距離を求める。
距離Ｄ＝｜２－１｜／√５
ＡＢ＝２√５
Ｓ＝（１／２）＊２√５＊（１／√５）＝１
ーーー
他人の○○で・・・
＞＞ABに平行な線が曲線に接する点が最大になる
何本かABに平行な直線を引いてみると接線の時ＭＡＸ・・・
＞＞Pの座標はNo3さんの求め方で
二次関数の頂点、またはー（Ｔ＾２）＋２Ｔを微分します。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
遅れて申し訳わけないのですが問題文の曲線y=z^2はy=x^2に訂正します・・。；

お礼日時：2007/05/16 00:32

No.4 回答者： fukuda-h 回答日時： 2007/05/15 23:20

ANo.3です　ABに平行線を引けば平行線間の距離が三角形ABPの高さになっています。

出来るだけ高さを大きくするために接線になる状態までどんどん下げて行くのです。高さは底辺ABに垂直だからです。直線間の距離は垂直に測りますね。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
確かにそうでした・・・。

ABを底辺として求める方法、△APQ＋△BPQで求める方法で
求めてみたのですが
前者だと27/8
後者だと45/8という答えになりました。
何度も何度も見直ししたのですが・・・。

お礼日時：2007/05/16 00:25

No.3 ベストアンサー 回答者： fukuda-h 回答日時： 2007/05/15 22:39

>曲線y=z^2曲線y=z^2と直線y=x+2が与えられている。

以下の問に答えなさい　　　　　曲線y=x^2と直線y=x+2が与えられている。以下の問に答えなさい
でしょうね。
>この最大値を求めるとき、y軸によってわかれる２つの三角形を考えたほうがいいのでしょうか？？それとも、直線ABを底辺とし考えるべきでしょうか？
[直線ABを底辺とし考える]が正解です
高さを最大にするのがいいですね。ABに平行な線を曲線ぬ接するようにひいたときの接点が面積を最大にするPで　点pでの接線の傾きが1ですから　微分して2x＝1から点Pの座標が出ます。あとはABの長さと（これはA,Bの座標を計算して）点Pと直線y=x+2の距離を公式で出してやればよいでしょうね
ABを底辺とし高さを最大にすることですから　考え方としては正しいと思います

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
ABに平行な線が曲線に接する点が最大になるPというのはなぜでしょうか？？
もしよろしければ、お願いしますm(__)m

お礼日時：2007/05/15 22:59

No.2 回答者： ko-bar-ber 回答日時： 2007/05/15 22:34

ヒント

点Ｐから直線ＡＢまで、ｙ軸に平行な直線を引き、交点をＱとかで置きます。
△ＡＰＱと△ＢＰＱができますよね。
これならば、ＰＱを底辺として２つの三角形の高さも求められますよね。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
なるほど・・・そうすれば、高さも底辺も簡単にもとめることがきますね。
Pの座標はNo3さんの求め方で直線ABに平行で曲線にせっする接点と考えてよいでしょうか？？

お礼日時：2007/05/15 22:57

No.1 回答者： 7772 回答日時： 2007/05/15 22:26

問題がちょっと分からないのですが・・・

A・Bはもしかして、曲線と直線の交点ですか？

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
そうです、、交点です・・・
説明不足で申し訳ないですm(__)m

お礼日時：2007/05/15 22:56