放物線と円が接する問題について

リンクの画像の問題で、放物線と円が二点で接する場合に判別式Ｄ＝０となる理由がよくわかりません。一点で接する場合もyの値は一つなのでＤ＝０となるのではないんでしょうか？
私の考えのどこが間違ってるのか教えていただけると幸いです。
http://i.imgur.com/8a0wbf9.jpg

質問者からの補足コメント

• 一点で接する場合D=0が成り立たないのはなぜでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/06/18 12:35

No.5 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/06/18 16:33

【　接する　】ということを、少し変わった角度から考えて・・・

『　２個の交点が近づいて、一致したとき接点になり、接する　』
　　～～～～～～～～～～

２次方程式の解は、ｘ軸との交点のｘ座標の値で、
２つの解をα、βとすると、２次方程式は、
(ｘ－α)(ｘ－β)＝０
で表され、グラフ（ア）のようにｘ軸と異なる２点で交わる。


（ア）のグラフを上方に平行移動させるとαとβが近づいていき、
しまいには、αとβが一致して、
グラフ（イ）のように、ｘ軸と接する。

このとき、α＝βとなり、
(ｘ－α)^2＝０
となって重解になる。
つまり、判別式D=0

問題の解答は、
y=x^2+a　と　x^2+y^2=9　から　ｘ　を消去して
(y-a)+y^2=9
y^2+y-a-9=0
と、ｙの２次方程式になっています。

[1] 放物線と円が２点で接するとき
グラフ（ウ）のように２点で交わり、
放物線を下方に平行移動させると２個の交点が近づいていき、
ついには、２個の交点が一致して
グラフ（エ）のように円と接する。

ｙの２次方程式だから、ｙの値が２個（α、β）あり、
（グラフはｘ軸に関して対称だから、ｘ＞０で考える）
グラフを平行移動させることにより
α＝βとなり、円と接することになる。

（添付写真があるので、次に続く）

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2017/06/19 23:39

Ｎｏ４さんはなにか、かんちがいしていませんか？

//円と直線x=aでは、2点で交わる場合も、yに関する2次方程式は重解になります。直線y=aとでは、xに関する2次方程式は重解になります。
判別式=0　→　接する、とはなりません。//

そんなことないですよ。
たとえば、円x²＋y²＝1と直線x=aを考えた場合、２点で交わるのは－１＜a＜1のときですが
このときｙの２次方程式　
a²＋y²＝1　はｙ＝±√(1－a²)と2つの実数解をもつのであって、重解になりません。
x²＋y²＝1とｙ＝aのときも２点で交わる場合ｘの２次方程式は重解を持ちません。
そして、ｙの２次方程式　a²＋y²＝1で判別式＝0とおけばa＝±1となって
直線ｘ＝±1は両方ともこの円の接線になっています。
同じようにして、D=0とおいて直線ｙ＝±1もこの円の接線です。
円外の点(a,b)からこの円に引いた接線も、２つの連立式から出した２次方程式は
かならずD=0になっていますよ。
というか、接線の形を仮定して、それとこの円の方程式から出てくる二次方程式の判別式＝0
とおいて(a,b)をとおるこの円のすべての接線が決まります。

No.6 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/06/18 16:33

続き

[２] 放物線と円が１点で接するとき
点(0, ３)で接するとき
グラフ（オ）を上方に平行移動させてグラフ（カ）のように接する。
点(0, －３)で接するとき
グラフ（キ）を上方に平行移動させてグラフ（ク）のように接する。
あるいは、
グラフ（オ）を下方に平行移動させてグラフ（カ）のように接する。
のように考えると、
２つのグラフ（オ）、（キ）には、
交点が１個しかないことに気付きますか？

[２]に関しては、２個の点を近づけて一致させて接点にすることができません。
(ｙ－α)^2＝０
のように、２乗が作れません。（βがないので、α＝βとすることができない）
実際、
a=3を代入すると
y^2+y-3-9=0
y^+y-12=0
(y+4)(y-3)=0
a=-3を代入すると
y^2+y+3-9=0
y^2+y-6=0
(y+3)(y-2)=0
となり、
[１]は、a=-(37/4)を代入したとき
y^2+y+(37/4)-9=0
y^2+y+(1/4)=0
(y+(1/2))^2=0
と、２乗が作れます。


２個の点が近づき一致させることのできる[１]は、判別式が使えるが、
２個の点が近づき一致させることのできない[２]は、判別式が使えない。

ちょっと、変わった見方をしてみました。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/18 15:31

No.3です。

しつこい様で蛇足ですが・・・。

2次曲線と直線の場合でも、連立させた2次方程式を考えた時
判別式=0 ⇔ 接する、とはいえません。

円と直線x=aでは、2点で交わる場合も、yに関する2次方程式は重解になります。直線y=aとでは、xに関する2次方程式は重解になります。
判別式=0　→　接する、とはなりません。

円外の点(a,b)から円に引いた接線は、接してるのに判別式=0とはなりません。
点がx軸上にある場合には、xに関する2次方程式で判別式=0、y軸上にある場合には、yに関する2次方程式で判別式=0で、その他の点からでは接線だけれども、x・yに関する2次方程式で判別式>0です。
接する　→　判別式=0、とはなりません。

同値ではなので、細心の注意が要りますね。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/18 14:07

>>一点で接する場合D=0が成り立たないのはなぜでしょうか？

実際に放物線:y=x²+1 と円:x²+y²=1を考えると、xを消去して
y²+y-2=0とすると
D=-1±3>0となります。D=0とはなりません。

実際に接点は(0,1)、(±i√3､-2)となります。

何故、こう(解は2個あるのに、共有点は1個しかない)なってしまうのかと言うと、連立方程式と2次方程式が同値でないからですね。

連立方程式では、円の条件により、yの範囲は、-1≦y≦1に限られますが、
2次方程式の方では、その情報がなくなってしまっているので完全に同値だとは言えないわけです。

-1≦y≦1を考慮すれば、上で出てきたy＝1，-2のうち、-2は不適となるので、つじつまが合います。

2次方程式は、連立方程式を解く為の方法論の1個でしか無い訳で、2次方程式が連立方程式の全てを表してはいない、という事です。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2017/06/18 12:43

たしかに、放物線と直線、円と直線というように二次曲線と直線の接点を求めるには

交点のｘ座標かｙ座標に関する二次方程式をだして、そのＤ＝0　として
すべての接点を求めることができるわけです。
しかしこの問題のように、二次曲線どおしの接点を求める問題では
Ｄ＝0　で出てくる接点は、接点の候補の１つを示すにぎないということです。
ということは、Ｄ＞0　として、このｙの二次方程式がとることのできる解ｙ
のすべてについて接点の他の候補をさがす必要があるということです。
それを、計算でやるのはめんどうなので、この問題の場合グラフでやっているわけです。

ということで、Ｄ＝0　ですべての接点を出せるのは
二次曲線と、直線のあいだの問題にかぎるということです。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/18 05:10

①は放物線と円の方程式を連立させて、xを消去したyについての方程式ですよ。

2点で接する場合、2点のy座標は同じ。
2点で交差する場合も、2点のy座標は同じ。

だから、yの解は1個（重解)。