内心の軌跡

点Ａ、Ｂを直径とする半径4の半円上を、点ＣがＡからＢまで動くとき、三角形ＡＢＣの内心が動く軌跡の長さを求めよ。ただし円周率はπとする。
という問題ですが、どのような軌跡になるのかが分かりません。解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/08/30 23:59

まず △ABC が直角三角形であるのはいいよね?

で, 「△ABC の内心」というのは「それぞれの角の二等分線の交点」であることもいいね?

ここで問題: △ABC の内心を I としたとき, ∠AIB はどうなる?

この回答へのお礼

∠ＡIＢ＝135°（一定）になりました！つまり、Ａ、I、Ｂが同一円周上にあるんですね。よく分かりました。
中心角と半径を求めて、問題を解くことができました。
どうも、ありがとうございました。

お礼日時：2019/08/31 12:15

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/08/31 10:51

円の中心をO,△ABCの内心をIとします。

ABは円Oの直径なので、∠ACB＝90°です。

内心は、三角形のそれぞれの角の二等分線の交点です。△ABCで、∠A＝２a, ∠B=2bとすると、内角の和は180°より、
2a+2b+90°=180°
a+b=45°

△ABIで、内角の和は180°より、
a+b+∠AIB=180°
45°+∠AIB=180°
∠AIB=135°

点Cが動くとき、内心Iも動きますが、∠AIBが常に135°ということは、∠AIBは、別の円O´の弧ABに対する円周角とみなせます。
中心角は円周角の2倍で270°となり、∠AO´B＝360°ー270°＝90°となります。

△AO´Bは、O´A＝O´B(円O´の半径)で、∠AO´B＝90°より、直角二等辺三角形です。
AB=8より、O´A＝(1/√２)AB＝４√２

したがって、内心Iの軌跡は、半径４√２の円O´の円周の一部で、中心角90°より、長さは、４√２×２×π÷４＝２√２πです。

この回答へのお礼

とても分かりやすいご説明、ありがとうございました。

お礼日時：2019/08/31 13:14

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/31 09:40

点Aをｘ、ｙ座標の原点とし。

点Bをｘ=4とした場合、点Cの座標は（ｘ₀、√(４－ｘ₀²))
直線ACの方程式は、√(４－ｘ₀²)ｘ－ｘ₀ｙ＝０
直線CBの方程式は、√(４－ｘ₀²)ｘ＋(４－ｘ₀)ｙー４√(４－ｘ₀²)＝０
直線ABの方程式は、ｙ＝０
円心（a,b)からの各直線までの距離は
ｒ＝（√(４－ｘ₀²)a－ｘ₀b）/（√(４－ｘ₀²)²＋（－ｘ₀）²））
=（√(４－ｘ₀²)a－ｘ₀b）/4・・・①
=(√(４－ｘ₀²)a＋(４－ｘ₀)bー４√(４－ｘ₀²))/（√(４－ｘ₀²)²＋（4－ｘ₀）²））
=(√(４－ｘ₀²)a＋(４－ｘ₀)bー４√(４－ｘ₀²))/(20-8x₀）・・・②
＝ｂ
①から４ｂ＝√(４－ｘ₀²)a－ｘ₀b⇒ｂ＝√(４－ｘ₀²)a/(4+x₀）
②からｂ＝(√(４－ｘ₀²)a＋(４－ｘ₀)√(４－ｘ₀²)a/(4+x₀）ー４√(４－ｘ₀²))/(20-8x₀）
√(４－ｘ₀²)a/(4+x₀）＝(√(４－ｘ₀²)a＋(４－ｘ₀)√(４－ｘ₀²)a/(4+x₀）
ー４√(４－ｘ₀²))/(20-8x₀）、√(４－ｘ₀²)a（１/(4+x₀）-1＋(４－ｘ₀)/(4+x₀））=
４√(４－ｘ₀²))/(20-8x₀）
√(４－ｘ₀²)a（１/(4+x₀）ー１＋(４－ｘ₀)/(4+x₀))＝４√(４－ｘ₀²))/(20-8x₀）
a=４√(４－ｘ₀²))/(20-8x₀）/√(４－ｘ₀²)*（１/(4+x₀）ー１＋(４－ｘ₀)/(4+x₀))
=-1/(5-2x₀）/（１/(4+x₀）ー１＋(４－ｘ₀)/(4+x₀))
b=√(４－ｘ₀²)(-1/(5-2x₀）/（１/(4+x₀）ー１＋(４－ｘ₀)/(4+x₀))/(4+x₀）=r
円心の軌道は上記の（a,b)で半径ｒ＝ｂとなります。
よって（ｘ－a)²＋（ｙ－ｂ）²＝ｂ²
途中で間違って入りかも知れないので、質問者さまも計算してください。

この回答へのお礼

とても丁寧なご説明、ありがとうございました。

お礼日時：2019/08/31 12:16